Hei !
Litt problemer her...
En konsument har nyttefunksjon f(x,y) = x^ay^2, der a>0 er en konstant. Hun skal velge x, y slik at nytten f(x,y) maksimeres gitt budsjettbetingelsen 4x + 3y = 12.
Finn konsumentens tilpasning!
Javel, det er greit. Men hvordan gjør jeg det. Kan forsåvidt det generelle prinsippet med Lagrange, men får det ikke til likevel.
Noen kloke hoder?
Lagrange
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Her er det gitt at f(x,y)=x[sup]a[/sup]y[sup]2[/sup] under bibetingelsen g(x,y)=4x+3y-12=0. Lagrange metode gir
(1) [part][/part]f/[part][/part]x = ax[sup]a-1[/sup]y[sup]2[/sup] = 4λ = [part][/part]g/[part][/part]x,
(2) [part][/part]f/[part][/part]y = 2x[sup]a[/sup]y = 3λ = [part][/part]g/[part][/part]y.
Ved å dele likning (2) på likning (1), får vi at
(2x[sup]a[/sup]y)/(ax[sup]a-1[/sup]y[sup]2[/sup]) = (3λ)/(4λ),
dvs. at x=(3ay)/8. Herav følger at
0 = 4x + 3y - 12 = 4[sub]*[/sub](3ay)/8 + 3y - 12 = 3[(a+2)y - 8]/2.
M.a.o. blir y=8/(a+2), som igjen medfører at x=(3ay)/8=(3a)/(a+2). Så maksimalverdien av nyttefunksjonen blir
f( (3a)/(a+2), 8/(a+2) ) = [(3a)/(a+2)][sup]a[/sup][sub]*[/sub][8/(a+2)][sup]2[/sup] = 64[sub]*[/sub](3a)[sup]a[/sup] / (a+2)[sup]a+2[/sup].
(1) [part][/part]f/[part][/part]x = ax[sup]a-1[/sup]y[sup]2[/sup] = 4λ = [part][/part]g/[part][/part]x,
(2) [part][/part]f/[part][/part]y = 2x[sup]a[/sup]y = 3λ = [part][/part]g/[part][/part]y.
Ved å dele likning (2) på likning (1), får vi at
(2x[sup]a[/sup]y)/(ax[sup]a-1[/sup]y[sup]2[/sup]) = (3λ)/(4λ),
dvs. at x=(3ay)/8. Herav følger at
0 = 4x + 3y - 12 = 4[sub]*[/sub](3ay)/8 + 3y - 12 = 3[(a+2)y - 8]/2.
M.a.o. blir y=8/(a+2), som igjen medfører at x=(3ay)/8=(3a)/(a+2). Så maksimalverdien av nyttefunksjonen blir
f( (3a)/(a+2), 8/(a+2) ) = [(3a)/(a+2)][sup]a[/sup][sub]*[/sub][8/(a+2)][sup]2[/sup] = 64[sub]*[/sub](3a)[sup]a[/sup] / (a+2)[sup]a+2[/sup].