Integral av trig.funksjon.

[Razzy]

Hei

Skal løse følgende integral: [tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {{{\cos }^4}x\;dx} $$[/tex]

Har følgende formler tilgjengelig:






Gir det et forsøk:

[tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {{{\cos }^4}x\;dx} $$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^2}\;dx} $$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {{{\left( {{x \over 2} + {1 \over 4}\sin 2x} \right)}^2}\;dx} $$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {\left( {x + {1 \over 2}\sin 2x} \right)\;dx} $$[/tex]


Løser sinus leddet ved bruk av substitusjon:

[tex]$$\int {\sin 2x} \;dx$$[/tex]

[tex]$$u = 2x,\;u^\prime = 2 \Rightarrow dx = {{du} \over 2}$$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\int {\sin u} \;du = - {1 \over 2}\cos 2x$$[/tex]


[tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {\left( {x + {1 \over 2}\left( { - {1 \over 2}\cos 2x} \right)} \right)\;dx} $$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {\left( {x - {1 \over 4}\cos 2x} \right)\;dx} $$[/tex]

Ble ikke noe særlig penere det her?

FASIT: [tex]$${3 \over {16}}\pi $$[/tex]

[svinepels]

Ser ut som at du glemmer at hele uttrykket er opphøyd i 2. Prøv å gange ut og så behandle hvert ledd for seg

[2357]

I tredje linje har du erstattet [tex]\cos^2 x = \int \cos^2x dx[/tex].

Bruk heller [tex]\cos 2x = 2 cos^2 x - 1[/tex].

[Razzy]

Ser ut som at du glemmer at hele uttrykket er opphøyd i 2. Prøv å gange ut og så behandle hvert ledd for seg

Ja ser det! Arg, den var flau

I tredje linje har du erstattet [tex]\cos^2 x = \int \cos^2x[/tex].

Bruk heller [tex]\cos 2x = 2 cos^2 x - 1[/tex].

Dobbelt d'oh!

[Razzy]

[tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^2}\;dx} $$[/tex]

Benytter sammenhengen: [tex]$${\cos ^2}x = {1 \over 2}\cos 2x + 1$$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {{{\left( {{1 \over 2}\cos 2x + 1} \right)}^2}\;dx} $$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {\left( {{1 \over 4}{{\cos }^2}2x + \cos 2x + 1} \right)\;dx} $$[/tex]

Likte ikke helt det her?

[Razzy]

http://www.youtube.com/watch?v=hu4D7gk8jFU

[Nebuchadnezzar]

Noe enklere å skrive om til kompleks form først

Husk at [tex]e^{i\omega} = \cos \omega + i \sin \omega[/tex] og [tex]\cos(\omega) = \frac{1}{2}[e^{i \omega} - e^{- i \omega}][/tex]

[tex]\begin{array}{ll} \cos^4(\omega) & = \left( \frac{1}{2}[e^{ i \omega } + e^{-i \omega}] \right)^4 \\ & = \frac{1}{16} [ e^{4i\omega} + 4 e^{3i\omega} e^{-i \omega} + 6 e^{2 i \omega} e^{- 2 i \omega} + 4 e^{i \omega} e^{-3i \omega} + e^{-4 i \omega} ] \\ & = \frac{1}{16}[ e^{4 i \omega} + 4e^{2 i \omega} + 6 e^{0} + 4 e^{-2i \omega} + e^{-4 i \omega} ] \\ & = \frac{1}{16}[e^{4 i \omega} + e^{- 4 i \omega} + 4 e^{2 i \omega} + 4 e^{-2 i \omega} + 6 ] \\ & = \frac{1}{8}\left [ \frac{e^{4 i \omega} + e^{-4 i \omega}}{2} \right] + \frac{1}{4} \left[ \frac{ e^{2 i \omega} + e^{-2i \omega} }{2} \right] + 6 \\ & = \frac{1}{8} \cos(4 \omega) + \frac{1}{2} \cos(2 \omega) + \frac{3}{8} \end{array} [/tex]

Som er mye enklere å integrere.

Tok med litt ekstra mellomregninger enn hva jeg ville gjort til vanlig. Fordelen med å skrive det om til kompleks er at en gjør om et trigonometrisk problem, til et algebraisk. Brukte pascals trekant for å utvide uttrykket. Altså

[tex] (a+b)^4 = a^4 + 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 a b^3 + b^4[/tex]

[Janhaa]

Hei
Skal løse følgende integral: [tex][tex][/tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {{{\cos }^4}x\;dx} $$[/tex
[tex]$${1 \over 2}\int\limits_0^\pi {\left( {x - {1 \over 4}\cos 2x} \right)\;dx} $$[/tex]
Ble ikke noe særlig penere det her?
FASIT: [tex]$${3 \over {16}}\pi $$[/tex]

eller reduksjonsformelen for trig funksjoner, den utledes vha
delvis integrasjon:

http://en.wikipedia.org/wiki/Integratio ... n_formulae

[Razzy]

Nice - da har jeg altså vanlig innsettingsmetode, omskriving til kompleks, og reduksjonsformelen.

Tror ikke vi har som pensum å kunne reduksjon eller kompleksmetoden til Nebu.

Håper derfor å klare meg på innsetting.


By the way - dette er det siste offisielle mattefaget jeg skal ha!
(dette er valgfag matematikk på høgskole)

http://student.hib.no/fagplaner/ai/emne ... A141&ver=1

Er jo neste litt vemodig!