Hei, har en oppgave hvor jeg skal finne enhetstangentvektoren T(t) til en ellipse.
Ellipsen er gitt med ligningen (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1
r(t) = [a*cos(t), b*sin(t)]
r'(t) = [-a*sin(t), b*cos(t)]
r''(t) = [-a*cos(t), -b*sin(t)]
Når det gjelder enhetstangentvektoren er dette dét jeg har kommet frem til:
[(-a*sin(t)/ [symbol:rot] (-a^2*sin^2(t)+b^2*cos^2(t)), (b*cos(t))/ [symbol:rot] (-a^2*sin^2(t)+b^2*cos^2(t))]
Har problemer med å forkorte det noe videre, har kommet frem til at det eventuelt kan bli
[-(a*sin(t))/(a*sin(t)+b*cos(t)), (b*cos(t))/(a*sin(t)+b*cos(t))]
er dette riktig?
Hvis ikke, hva kan jeg gjøre annerledes?
Enhetstangentvektor
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Du har jo at
[tex]x=a\cos(t)[/tex]
[tex]y=b\sin(t)[/tex], så ellipsen er parametrisert ved
[tex]\vec{r}(t) = (x,y) =(a\cos(t),b\sin(t))[/tex].
Tangentvektoren er da parallell med den deriverte av posisjonsvektoren mhp parameteren t:
[tex]\vec{r}^,(t) = (-a\sin(t), b\cos(t))=(-\frac{a}{b}y, \frac{b}{a}x)[/tex].
Enhetstangentvektoren fremkommer ved å normalisere, dvs. dele på lengden av vektoren selv: Lengden er
[tex]|\vec{r}^,|=\sqrt{\frac{a^2}{b^2}y^2+\frac{b^2}{a^2}x^2}[/tex],
så enhetstangentvektoren blir
[tex]\frac{\vec{r}^,}{|\vec{r}^,|}=\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}y^2+\frac{b^2}{a^2}x^2}}(-\frac{a}{b}y, \frac{b}{a}x)[/tex] for koordinater x,y som tilfredsstiller ellipseligningen.
[tex]x=a\cos(t)[/tex]
[tex]y=b\sin(t)[/tex], så ellipsen er parametrisert ved
[tex]\vec{r}(t) = (x,y) =(a\cos(t),b\sin(t))[/tex].
Tangentvektoren er da parallell med den deriverte av posisjonsvektoren mhp parameteren t:
[tex]\vec{r}^,(t) = (-a\sin(t), b\cos(t))=(-\frac{a}{b}y, \frac{b}{a}x)[/tex].
Enhetstangentvektoren fremkommer ved å normalisere, dvs. dele på lengden av vektoren selv: Lengden er
[tex]|\vec{r}^,|=\sqrt{\frac{a^2}{b^2}y^2+\frac{b^2}{a^2}x^2}[/tex],
så enhetstangentvektoren blir
[tex]\frac{\vec{r}^,}{|\vec{r}^,|}=\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}y^2+\frac{b^2}{a^2}x^2}}(-\frac{a}{b}y, \frac{b}{a}x)[/tex] for koordinater x,y som tilfredsstiller ellipseligningen.