matematikk.net

Hei,
skal bevise at en vektorfunksjon r=<f(t),fg(t),h(3)> er kontinuerlig i t = t0 dersom f, g og h er kontinuerlig i t0..

Går ut fra at man skal bruke epsilon delta definisjonen.

Utifra definisjonen skal man se på |t-t0|<d og
|r(t)-r(t0)| = [symbol:rot] (f-f(t0)-(g-g(t0))^2)^2+(h-h(t0))^2+(g-g(to))^2 <e

men hvordan går man videre....

Det er nok å vise at en funksjon er kontinuerlig i [tex]t_0[/tex] dersom komponentfunksjonene er kontinuerlige i [tex]t_0[/tex].

La [tex]f(t)=(f_1(t), f_2(t), f_3(t))[/tex] slik at [tex]f_i[/tex] er kontinuerlig i [tex]t_0[/tex] for [tex]i=1,2,3[/tex].

For enhver [tex]\epsilon>0[/tex] fins det da [tex]\delta_1[/tex], [tex]\delta_2[/tex] og [tex]\delta_3[/tex] slik at når [tex]|t-t_0|<\delta_i[/tex] er [tex]|f_i(t)-f_i(t_0)|<\epsilon[/tex].

La [tex]\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}[/tex].

Da har vi at for [tex]|t-t_0|<\delta[/tex] er [tex]|f(t)-f(t_0)|=\sqrt{\sum_{i=1}^3 |f_i(t)-f_i(t_0)|^2}<\sqrt{3}\epsilon[/tex]. Altså er f(t) kontinuerlig.