matematikk.net

Oppgave 9.4.19 c)

Løs integralet:

[tex]\int \frac{u^2+1}{(-u^2+2u+1)^2}du[/tex]

ved bruk av substitusjon [tex]\: u=tan(\frac{\theta}{2})\:[/tex].

Noe enklere blir å se at

[tex]\begin{align} I & = & \int \frac{u^2+1}{(u^2-2u-1)^2} \, \mathrm{d}u \\ & = & \int \fra{1 + \frac{1}{u^2}}{(u - \frac{1}{u} - 1)^2} \, \mathrm{d}u \end{align}[/tex]
Legg så merke til at om vi bruker substitusjonen
[tex]\kappa = u - \frac{1}{u}[/tex]
så blir
[tex]\mathrm{d}\kappa = \left( 1 + \frac{1}{u^2} \right) \mathrm{d}u[/tex]
og herfra løser integralet seg greit. Og mulig med delbrøk, men blir mye rot.

Takk for det tipset.

Med tanke på de uttrykkene der tror jeg dessverre ingen har spesielt lyst. Det ser litt rart ut i forhold til hva wolframalpha sier.

Tror Winger har rett. Det ser ut som en tidlig slurvefeil har skapt et helt crazy rot.

Integralen: Prøv heller det jeg skrev til deg, som sagt da løser integralet seg mye enklere

Problemet er at de to integralene ikke er like.

[tex](-u^2+2u+1)^2 = [(-1)(u^2-2u-1)]^2 = (-1)^2 \cdot (u^2-2u-1)^2 = (u^2-2u-1)^2[/tex]

Og om du virkelig vil slite deg gjennom integralet via delbrøk
(noe jeg ikke ser grunnen til, da du kan gjøre som vist over)
legger jeg ved en grov skisse under.

[tex]\begin{array*}{ll} I & = \int \frac{u^2+1}{(u^2-2u-1)^2)}\,\mathrm{d}u \\ & = 2\overbrace{\int \frac{u+1}{(u^2-2u-1)^2}\,\mathrm{d}u}^{A} + \overbrace{\int \frac{\mathrm{d}u}{u^2-2u-1}}^{B} \\ B & = \int \frac{\mathrm{d}u}{(u-1)^2-(\sqrt{2})^2} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \text{arctanh}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(u-1) \right )\\ A & = \overbrace{\int \frac{u-1}{(u^2-2u-1)^2}\,\mathrm{d}u}^{C} + \overbrace{\int \frac{2}{(u^2-2u-1)^2}\,\mathrm{d}u}^{D}\\ C & = \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}\xi}{\xi^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^2-2u-1}\,,\,\text{hvor} \, \xi = u^2-2u-1 \\ U & = \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2} = -\frac{1}{a}\text{arctanh}\left( \frac{x}{a} \right ) \\ \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}a} & = \int \frac{2a}{(x^2-a^2)^2}\mathrm{d}x = \frac{1}{a^2}\text{arctanh}\left( \frac{x}{a} \right ) + \frac{1}{a} \cdot \frac{x}{a^2+x^2} \\ D & = \frac{1}{a} \cdot \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}a}= \frac{1}{(\sqrt{2})^3}\text{arctanh}\left( \frac{u-1}{\sqrt{2}} \right ) + \frac{1}{(\sqrt{2})^2} \cdot \frac{u-1}{(\sqrt{2})^2+(u-1)^2} \\ I & = 2A + B = 2(C + D) + B \\ & = 2\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^2-2u-1} + \frac{1}{(\sqrt{2})^3}\text{arctanh}\left( \frac{u-1}{\sqrt{2}} \right ) + \frac{1}{(\sqrt{2})^2} \cdot \frac{u-1}{(\sqrt{2})^2+(u-1)^2} \right) + \\ & \phantom{===========i} \left( - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \text{arctanh}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(u-1) \right ) \right ) \\ & = \frac{u}{u^2-2u-1} + \mathcal{C} \end{array*}[/tex]

Jeg vil jo ikke gå gjennom delbrøk, siden den gir så mye rot å gå gjennom for dette integralet, men det du kom med, nemlig:

Nebuchadnezzar skrev:Noe enklere blir å se at
[tex]\begin{align} I & = & \int \frac{u^2+1}{(u^2-2u-1)^2} \, \mathrm{d}u \\ & = & \int \fra{1 + \frac{1}{u^2}}{(u - \frac{1}{u} - 1)^2} \, \mathrm{d}u \end{align}[/tex]
Legg så merke til at om vi bruker substitusjonen
[tex]\kappa = u - \frac{1}{u}[/tex]
så blir
[tex]\mathrm{d}\kappa = \left( 1 + \frac{1}{u^2} \right) \mathrm{d}u[/tex]
og herfra løser integralet seg greit. Og mulig med delbrøk, men blir mye rot.

det var dette jeg ville bruke, men jeg kan ikke bruke dette fordi, det som står i den ene integranden IKKE er lik den andre integranden.Det er dette jeg mener er problemet.

Legg merke til at det er en skrivefeil i nederste integralet, selvsagt skal teller være [tex]( u - \frac{1}{u} - 2)^2[/tex]. Som du sikkert ville sett om du hadde prøvd å dele teller og nevner på [tex]u^2[/tex]...

Det gikk veldig fort å løse med trikset ditt, genialt!