Side 1 av 1
Aritmetikkens fundamentalteorem
Lagt inn: 18/02-2013 20:36
av Determined
Vi lar N = p_1*p_2*...*p_m og N = q_1*q_2*...*q_n være to forskjellige primtallsfaktoriseringer av N.
Vis at alle p-ene er forskjellige fra alle q-ene.
(Dette er ikke hele beviset for aritmetikkens fundamentalteorem selvsagt, men et ledd for å bevise det.)
Vli gjerne ha noen tips.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Men ingen fullstendig løsning...
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 18/02-2013 20:50
av Vektormannen
Uhm, antar du mener å vise at alle p-ene må være lik q-ene? (Altså at det bare finnes én unik faktorisering.)
De to faktoriseringene er begge lik N. Vi vet da at f.eks. [tex]p_1[/tex] deler N, og da må [tex]p_1[/tex] dele produktet av alle q-ene. I definisjonen av primtall ligger det at bare 1 og tallet selv skal være en faktor. Hva kan du da slutte om en av q-ene i produktet, og hva kan du da gjøre?
Lagt inn: 18/02-2013 21:00
av Determined
Nei, det jeg skal vise er at _hvis_ disse to primtallsfaktoriseringene er forskjellige, så er også alle p'ene og 'ene forskjellige fra hverandre.
Lagt inn: 18/02-2013 22:04
av Brahmagupta
Jeg løste denne i fjor og synes å huske at det blir gjort en antakelse tidligere i oppgaven om at at N er det minste tallet med to forskjellige primtallsfaktoriseringer.
Hvis en p er lik en q vil det jo motsi denne antakelsen. Hvorfor?
Lagt inn: 18/02-2013 22:11
av Determined
Hvis en p er lik en q, og dette tallet kalles a, så vil N/a = p_1*...*p_m = q_1*...*q_m fortsatt ha ulik primtallsfaktorisering (da p'n er lik q'en), men dette er en selvmotsigelse da N var det minste tallet med ulik primtallsfaktoringer.
Takker! Kommer helt sikkert med flere spørsmål senere!
![Razz :P](./images/smilies/icon_razz.gif)