matematikk.net

La [tex]f(x) = e^{x^2}[/tex]. Vis ved induksjon at [tex]f^{(n)} = p_n(x)e^{x^2}[/tex], Der [tex]p_n(x)[/tex] er et n'te-grads polynom.

Jeg har kommet frem til at [tex]f^{(n+1)}(x) = p_{(n-1)}(x)e^{x^2} + p_n(x)p_1(x)e^{x^2}[/tex] (ved produktregelen for derivasjon).

Det er jo klart at venstresiden er et (n-1)'te-grads polynom (om vi slår sammen), men er dette egentlig nok for å bevise påstanden?

Når du faktoriserer ut [tex]e^{x^2}[/tex] og trekker sammen polynomene så får du et polynom av grad n+1 ja (antar du mente n+1 og ikke n-1). Da har du bare brukt enkle egenskaper ved polynomer, at summen av to polynom er et nytt polynom med grad lik den høyeste av gradene til polynomene, og at produktet av to polynom med grad n og m er et polynom med grad n+m.

Det du mangler da er å vise at påstanden stemmer når n = 1.

(Mente n+1 ja!)

Ja ser at dette stemmer nå. For det behøver jo ikke være noen "sammenheng" mellom [tex]p_i[/tex] og [tex]p_{(i+1)}[/tex]. Det eneste er at sistenevnte er at polynom av 1 høyere grad, og da stemmer det jo!

Takker.