Oppgave 9.4...
[tex]\int \frac{sin^2(x)}{1+sin^2(x)}dx[/tex]
Kan denne løses med enkel integrasjonsteknikk?Hvordan?
På forhånd takk!
Integral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Ja og da fikk jeg et problem i nevner:
[tex]\int \frac{8u^2du}{(1+u^2) \cdot [(1+u^2)^2+4u^2]}[/tex]
Prøvde å delbrøkoppspalte integranden, men klarer det ikke pga at det er + tegn, og da vet jeg ikke hvordan jeg bruker delbrøkoppspaltingen.
Jeg trenger andregrads eller eventuelt førstegrads polynomer slik at jeg kan bruk delbrøkoppspaltingen.
Hvordan ser fellesuttrykket ut i nevner som skal ganges med eventuelle konstanter på høyre side i delbrøkoppspaltingen?
[tex]\int \frac{8u^2du}{(1+u^2) \cdot [(1+u^2)^2+4u^2]}[/tex]
Prøvde å delbrøkoppspalte integranden, men klarer det ikke pga at det er + tegn, og da vet jeg ikke hvordan jeg bruker delbrøkoppspaltingen.
Jeg trenger andregrads eller eventuelt førstegrads polynomer slik at jeg kan bruk delbrøkoppspaltingen.
Hvordan ser fellesuttrykket ut i nevner som skal ganges med eventuelle konstanter på høyre side i delbrøkoppspaltingen?
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Integrasjon er ikke en slavisk fremgangsmåte men handler om å klare å se de smarte triksene, og de nyttige sammenhengene.
Legg først merke til at
[tex]\frac{\sin(x)^2}{1+\sin(x)^2} = \frac{1 + \sin(x)^2 - 1}{1+\sin(x)^2} = 1 - \frac{1}{1 + \sin(x)^2}[/tex]
Slik at
[tex]\int \frac{\sin(x)^2}{1+\sin(x)^2}\,\mathrm{d}x = x - \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + \sin(x)^2}[/tex]
Så vil eksempelvis substitusjonen [tex]u = \tan(x)[/tex], være nyttig.
Da får du
[tex]I = x - \int \frac{\mathrm{d}u}{2u^2+1}[/tex]
Og herfra regner jeg med du klarer resten.. Mellomregningene får du ta på egen kappe slik du lærer noe
Legg først merke til at
[tex]\frac{\sin(x)^2}{1+\sin(x)^2} = \frac{1 + \sin(x)^2 - 1}{1+\sin(x)^2} = 1 - \frac{1}{1 + \sin(x)^2}[/tex]
Slik at
[tex]\int \frac{\sin(x)^2}{1+\sin(x)^2}\,\mathrm{d}x = x - \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + \sin(x)^2}[/tex]
Så vil eksempelvis substitusjonen [tex]u = \tan(x)[/tex], være nyttig.
Da får du
[tex]I = x - \int \frac{\mathrm{d}u}{2u^2+1}[/tex]
Og herfra regner jeg med du klarer resten.. Mellomregningene får du ta på egen kappe slik du lærer noe
Sist redigert av Nebuchadnezzar den 28/02-2013 19:34, redigert 2 ganger totalt.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
trur jeg fant en bedre måte, tar ikke med alle mellomregninger, ta det sjøl på papiret:
[tex]\begin{align} I=\int\frac{\sin^2(x)}{2-\cos^2(x)}\,dx=\int\frac{\sin^2(x)}{2-\cos(2x)-\sin^2(x)}\,dx=\int\frac{{1\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}{{3\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}\,dx=\int\frac{{1\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)+1-1}{{3\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}\,dx=\int\,dx\,-\,\int\frac{du}{3-\cos(u)}+C \end{align}[/tex]
med u = 2x,
så kan du bruke t=tan(u/2) på siste og da får du riktig...
[tex]\begin{align} I=\int\frac{\sin^2(x)}{2-\cos^2(x)}\,dx=\int\frac{\sin^2(x)}{2-\cos(2x)-\sin^2(x)}\,dx=\int\frac{{1\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}{{3\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}\,dx=\int\frac{{1\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)+1-1}{{3\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}\,dx=\int\,dx\,-\,\int\frac{du}{3-\cos(u)}+C \end{align}[/tex]
med u = 2x,
så kan du bruke t=tan(u/2) på siste og da får du riktig...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Streess..Janhaa skrev:trur jeg fant en bedre måte, tar ikke med alle mellomregninger, ta det sjøl på papiret:
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Nebuchadnezzar: Det var noe med +1 og -1 i teller jeg prøvde men sluttet opp tidlig, ser nå at denne metoden virker utmerket, da tror jeg man får 1+2u i nevner
Janhaa: En annen måte ser det ut som, men komplisert.
Supert for alle bidragene!
Janhaa: En annen måte ser det ut som, men komplisert.
Supert for alle bidragene!