matematikk.net

Oppgave 9.4...

[tex]\int \frac{sin^2(x)}{1+sin^2(x)}dx[/tex]

Kan denne løses med enkel integrasjonsteknikk?Hvordan?

På forhånd takk!

prøvd med

[tex]u=\tan(x/2)[/tex]

Ja og da fikk jeg et problem i nevner:

[tex]\int \frac{8u^2du}{(1+u^2) \cdot [(1+u^2)^2+4u^2]}[/tex]

Prøvde å delbrøkoppspalte integranden, men klarer det ikke pga at det er + tegn, og da vet jeg ikke hvordan jeg bruker delbrøkoppspaltingen.

Jeg trenger andregrads eller eventuelt førstegrads polynomer slik at jeg kan bruk delbrøkoppspaltingen.

Hvordan ser fellesuttrykket ut i nevner som skal ganges med eventuelle konstanter på høyre side i delbrøkoppspaltingen?

Integrasjon er ikke en slavisk fremgangsmåte men handler om å klare å se de smarte triksene, og de nyttige sammenhengene.
Legg først merke til at

[tex]\frac{\sin(x)^2}{1+\sin(x)^2} = \frac{1 + \sin(x)^2 - 1}{1+\sin(x)^2} = 1 - \frac{1}{1 + \sin(x)^2}[/tex]

Slik at

[tex]\int \frac{\sin(x)^2}{1+\sin(x)^2}\,\mathrm{d}x = x - \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + \sin(x)^2}[/tex]

Så vil eksempelvis substitusjonen [tex]u = \tan(x)[/tex], være nyttig.
Da får du

[tex]I = x - \int \frac{\mathrm{d}u}{2u^2+1}[/tex]

Og herfra regner jeg med du klarer resten.. Mellomregningene får du ta på egen kappe slik du lærer noe

trur jeg fant en bedre måte, tar ikke med alle mellomregninger, ta det sjøl på papiret:

[tex]\begin{align} I=\int\frac{\sin^2(x)}{2-\cos^2(x)}\,dx=\int\frac{\sin^2(x)}{2-\cos(2x)-\sin^2(x)}\,dx=\int\frac{{1\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}{{3\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}\,dx=\int\frac{{1\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)+1-1}{{3\over 2}-{1\over 2}\cos(2x)}\,dx=\int\,dx\,-\,\int\frac{du}{3-\cos(u)}+C \end{align}[/tex]

med u = 2x,

så kan du bruke t=tan(u/2) på siste og da får du riktig...

Janhaa skrev:trur jeg fant en bedre måte, tar ikke med alle mellomregninger, ta det sjøl på papiret:

Streess..

Nebuchadnezzar: Det var noe med +1 og -1 i teller jeg prøvde men sluttet opp tidlig, ser nå at denne metoden virker utmerket, da tror jeg man får 1+2u i nevner

Janhaa: En annen måte ser det ut som, men komplisert.

Supert for alle bidragene!