matematikk.net

Jeg har sett hvordan den deriverte av x! ser ut, men det inneholdt gamma-funksjonen og digamma-funksjonen, og jeg vet ikke hva noen av disse sier. Kunne vel funnet det ut ved litt lesing, men siden jeg ikke har noen kontekst eller grunnmur for det, så blir det vel glemt igjen uten videre seremoni.

Noen som vet hvordan integralet utføres?

[tex]\int x! dx[/tex]

Lurer du på om integralet kan uttrykkes på noen pen måte, for eksempel i form av gammafunksjonen eller lignende?

Ja, Wolfram kommer bare med en dårlig unnskyldning når den skal integreres.

Uttrykket for Gammafunksjonen er jo i utgangspunktet ikke så pent, så det er ikke sikkert at det finnes noe pent uttrykk for en antiderivert til funksjonen.

Om man kjører rett på får man jo

[tex]\int_0^x s! \, \text{d}s = \int_0^x \int_0^\infty t^s e^{-t} \, \text{d}t \, \text{d}s = \int_0^\infty \int_0^x t^s e^{-t} \, \text{d}s \, \text{d}t[/tex]
[tex] = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{\ln t}(t^x - 1) \ \text{d}t[/tex]

Men herfra kommer man vel ikke lenger.

Er det et av uttrykkene som ikke lar seg integrere analytisk?