matematikk.net

Skal finne alle løsninger til denne:

[tex]\frac{dy}{dx} +5y = y^2 [/tex]

Har prøvd litt og fått til dette:

[tex]dy = (y^2 - 5y) dx [/tex]

[symbol:integral] [tex]\frac{dy}{y^2 -5y}[/tex] = [symbol:integral] [tex]dx[/tex]

Er dette rett start?

Og kan noen hjelpe med å integrere uttrykket på venstre side?

Ser fint ut hittil.

For integralet (og jeg beklager at dette blir litt vagt, men jeg har ikke tid til å vise hele utregninga her og nå), fullfør kvadratet i nevneren. Det skal bli noe slikt som [tex](y-\frac52)^2-\frac{25}4[/tex]

Derfra kan du kjøre substitusjon med [tex]u=(y - \frac52)[/tex] og derfra vanlig prosess for integrering.

Kan noen hjelpe meg videre med integrasjonen?

Baz skrev:Kan noen hjelpe meg videre med integrasjonen?

[tex]\int \fra{du}{u^2-{25\over 4}}=\int\frac{du}{{(u+\frac{5}{2})}{(u-\frac{5}{2})}}=\int dx[/tex]

[tex]\int\frac{du}{u^2-\frac{25}{4}} = \int dx [/tex]

[tex]\frac{1}{2(\frac{5}{2})} ln\frac{u-\frac{5}{2}}{u+\frac{5}{2}} = x + C[/tex]

[tex]\frac{1}{5} ln \frac{2u-5}{2u+5} = x+C [/tex]

Setter inn for u= y-5/2
[tex]\frac{1}{5} ln \frac{2y-10}{2y}[/tex]

Har brukt regelen om at
[tex]\int\frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln\frac{u-a}{u+a}[/tex] med a = 5/2.

Er dette rett? Og kan jeg gjøre noen flere forenklinger?

Baz skrev:[tex]\int\frac{du}{u^2-\frac{25}{4}} = \int dx [/tex]
[tex]\frac{1}{2(\frac{5}{2})} ln\frac{u-\frac{5}{2}}{u+\frac{5}{2}} = x + C[/tex]
[tex]\frac{1}{5} ln \frac{2u-5}{2u+5} = x+C [/tex]
Setter inn for u= y-5/2
[tex]\frac{1}{5} ln \frac{2y-10}{2y}[/tex]
Har brukt regelen om at
[tex]\int\frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln\frac{u-a}{u+a}[/tex] med a = 5/2.Er dette rett? Og kan jeg gjøre noen flere forenklinger?

den ser rett ut:

[tex]\frac{1}{5}\ln(\frac{2y-10}{2y})=\frac{1}{5}\ln(\frac{y-5}{y})=x+C[/tex]

Vil det si at veien videre er først:

gange med 5 på begge sider slik at ln((y-5)/y) = 5(x+c)

Så ta exp på begge sider: (y-5)/y = e^5(x+c)

Som videre kan skrives som 1-5/y = e^5(x+c)

5/y = e^5(x+c)+1

Usikker på hva som skjer i neste ledd (invers kanskje?)

y/5 = 1/(e^-5(x+c)+1)

Så ganger med 5 på begge sider og får tilslutt

y = 5/(e^-5(x+c)+1)

Vil dette være rett metode for å løse for y?