Differensiallikning og rekkeløsning

[kidswood]

Har en oppgave som er slik:

Differensialligninga
y"-x[sup]2[/sup]y'-2xy=0
har løsning rundt x=0 som en kan finne ved å bruke rekkemetoden.

Anta at
y= [symbol:sum] [sub]n=0[/sub][sup] [symbol:uendelig] [/sup]a[sub]n[/sub]x[sup]n[/sup] er en løsning av differensialligninga. Finn en verdi av a[sub]2[/sub] og vis at koeffisientene a[sub]n[/sub] må tilfredsstille
a[sub]n+2[/sub](n+2)=a[sub]n-1[/sub] for n=1,2,...

Har så langt funnet ut ut dette:
y"-x[sup]2[/sup]y'-2xy=0: [symbol:sum] [sub]n=2[/sub][sup] [symbol:uendelig] [/sup]a[sub]n[/sub]n(n-1)x[sup]n-2[/sup]-x[sup]2[/sup] [symbol:sum] [sub]n=1[/sub][sup] [symbol:uendelig] [/sup]a[sub]n[/sub]nx[sup]n-1[/sup]-2x [symbol:sum] [sub]n=0[/sub][sup] [symbol:uendelig] [/sup]a[sub]n[/sub]x[sup]n[/sup]=0

Etter å ha satt leddene under felles summetegn fant vi dette:
[symbol:sum] [sub]n=0[/sub][sup] [symbol:uendelig] [/sup]((a[sub]n+2[/sub](n+2)(n+1))-(x[sup]2[/sup](a[sub]n+1[/sub](n+1))-2a[sub]n[/sub]x)x[sup]n[/sup]=0

Det som står inne i parentesen, altså alt utenom x[sup]n[/sup], må være null. Da satte vi a[sub]n+2[/sub](n+2) alene:

a[sub]n+2[/sub](n+2)=(x[sup]2[/sup](a[sub]n+1[/sub](n+1)+2a[sub]n[/sub]x)/(n+1)

Hvordan kommer vi videre herifra? Er det riktig det vi har gjort så langt?