[tex]A = \begin{bmatrix}3 & 0 \\8 & -1\end{bmatrix}[/tex]
Først fant jeg [tex]A-\lambda I[/tex] slik:
[tex]A-\lambda I = \begin{bmatrix}3-\lambda & 0 \\8 & -1-\lambda\end{bmatrix}[/tex]
Nå kan jeg bestemme uttrykket for determinanten til [tex]A-\lambda I[/tex] slik:
[tex]det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix}3-\lambda & 0 \\8 & -1-\lambda\end{vmatrix} = \lambda^2-2\lambda-3[/tex]
Ved å løse den karakteristiske likningen [tex]det(A-\lambda I) = 0[/tex] eller [tex]\lambda^2-2\lambda-3=0[/tex], så kommer jeg fram til følgende egenverdier:
[tex]\lambda_1 = 3[/tex]
[tex]\lambda_2 = -1[/tex]
Nå kan jeg finne egenvektorene tilhørende hver av de funnede egenverdiene ved å løse det homogene systemet [tex](A-\lambda I) = 0[/tex] for hver av disse.
Finner egenvektorene tilhørende [tex]\lambda_1 = 3[/tex] slik:
[tex](A-\lambda_1 I)x = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix}3-3 & 0 \\8 & -1-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} \\[20pt] \Leftrightarrow \begin{bmatrix}0 & 0 \\8 & -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{matrix}0 & 0 & = 0 \\8x_1 & -4x_2 & = 0\end{matrix}[/tex]
For å løse dette systemet jeg ender opp med, så ville jeg vanligvis ha brukt Gausseliminasjon, men her er det åpenbart at vi har en null-linje. Det betyr at jeg kan velge [tex]x_2[/tex] fritt, f.eks. [tex]x_2 = 2s[/tex]. Nå kan jeg bestemme [tex]x_1[/tex], siden jeg har et uttrykk for [tex]x_2[/tex], ved å sette inn i systemet jeg fant ovenfor:
[tex]8x_1 - 4x_2 = 0 \rightarrow 8x_1 - 4(2s) = 0 \rightarrow 8x_1 - 8s = 0 \rightarrow 8x_1 = 8s \rightarrow = x_1 = s[/tex]
Egenvektorene som hører til [tex]\lambda_1[/tex] blir altså [tex]x = s[1\qquad2]^T,\quad s\in\mathbb{R}\backslash\{0\}[/tex]
Finner egenvektorene tilhørende [tex]\lambda_2 = -1[/tex] slik:
[tex](A-\lambda_2 I)x = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix}3-(-1) & 0 \\8 & -1-(-1)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} \\[20pt] \Leftrightarrow \begin{bmatrix}4 & 0 \\8 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{matrix}4x_1 & 0 & = 0 \\8x_1 & 0 & = 0\end{matrix}[/tex]
For å løse dette systemet jeg ender opp med, så ville jeg vanligvis ha brukt Gausseliminasjon, men her er det åpenbart at vi har en null-linje. Det betyr at jeg kan velge [tex]x_2[/tex] fritt, f.eks. [tex]x_2 = t[/tex]. Nå kan jeg bestemme [tex]x_1[/tex]:
[tex]4x_1 = 0 \rightarrow x_1 = 0[/tex]
Egenvektorene som hører til [tex]\lambda_2[/tex] blir altså [tex]x = t[0\qquad1]^T,\quad t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}[/tex]
Åpenbaring: Hjelper å skrive ned alt en gang til skjønner jeg! -1-(-1) er jo faktisk 0 og ikke -2!
