Bevise K begrenset, lukket, og f : k → R kont. => f innh. 0

[Eksplisitt]

Oppgave:

En begrenset mengde [tex]A\subset \mathbb{R}^3[/tex] har innhold null dersom det for enhver [tex]\epsilon > 0[/tex] finnes en endelig samling [tex]R_1,R_2,\ldots,R_n[/tex] av rektangulære bokser med sider parallelle med koordinataksene slik at [tex]A\subset R_1\cup R_2\cup\ldots\cup R_n[/tex], og summen av volumene til [tex]R_1,R_2,\ldots,R_n[/tex] er mindre enn [tex]\epsilon[/tex]. Vis at hvis [tex]K[/tex] er en lukket, begrenset delmengde av [tex]\mathbb{R}^3[/tex] og [tex]f:K\rightarrow\mathbb{R}[/tex] er kontinuerlig, så har grafen til [tex]f[/tex] innhold null.

Kan noen gi meg litt starthjelp? På forhånd takk.

[Gustav]

Skal vel være at K er en delmengde i $\mathbb{R}^2$ ? Grafen til en funksjon av tre variable lever jo i et 4-dimensjonalt rom.

Hint: Bruk at bildet av K under f er lukket og begrenset, derfor er f Riemann-integrerbar.