matematikk.net

Hei, jeg lurer veldig på denne oppgaven. Jeg skal vise at g(x) er begrenset gitt at f(x) er begrenset:

[tex]g(x) = \frac{\int^x_0 f(x) \, dx}{x}[/tex] der g(0) = f(0) og er kontinuerlig for alle x (dette er bevist).

[tex]g(x) = \frac{F(x) - F(0)}{x} = \frac{F(x)}{x} - \frac{F(0)}{x}[/tex]

HER blir jeg usikker, og det er kanskje fordi jeg er litt usikker på hva som innebærer i "begrenset". Jeg bare lister opp en del spørsmål til oppgaven:

1. Betyr begrenset at det finnes en y-verdi som er større enn alle f(x)?

2. Den kan vel være begrenset nedenfra også? Det vil si at det finnes en y-verdi som er mindre enn alle f(x)?

Jeg tenker at når f(x) er begrenset, innebærer det at F(x) må divergere for x går mot minus eller pluss uendelig, men jeg klarer ikke helt å finne argumentet for det. Jeg kan bare se for meg en konvergerende graf, og da er det jo naturlig at den integrerte fra 0 til x der x går mot uendelig, går mot uendelig. Jeg mangler altså arumentet, men jeg kan regne ut at den vil være begrenset ved å bruke l'Hopital som gjør at jeg får g(x) = f(x) - F(0)/x der x går mot uendelig.

Videre mangler jeg også et argument for at g(x) ikke kan være begrenset når x går mot 0, og egentlig mot alle andre x der jeg ikke kan bruke l'Hopital.

Kanskje et litt rotete innlegg, menmen.

Jeg ser selvfølgelig at den integrerte vil bli 0 når x går mot 0. Derfor gjenstår det bare å bevise at g(x) divergerer for alle x som verken går mot uendelig eller 0.

Jeg tror at "f(x) er begrenset" betyr det samme som "Det finnes en [tex]0 \leq M < \infty[/tex] slik at [tex]|f(x)| \leq M[/tex] for alle [tex]x \in R[/tex]."

Ser du hvordan dette kan hjelpe deg i å finne ut om g(x) er begrenset? (Hva vet du nå om verdien til integralet av f? Kan du finne en øvre grense for integralet? Hva skjer når du deler denne øvre grensen på x?)

Svara på spørsmål 1 og 2 er begge ja, og du trenger denne informasjonen oversatt fra tekst til matematikk. Nå later jeg et øyeblikk som$f(x)\ge0$ for alle x slik at ideen bak argumentet er tydeligere, og så prøver du å fylle inn detaljene når vi ser bort fra en slik antakelse.

Siden f er begrensa, fins en M slik at $f(x)\le M$ for alle x. Da må også $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b M dx = M(b-a)$. Dette betyr, når vi bruker uttrykket du har for g(x) at $g(x)=\frac{\int_0^x f(x) dx} x \le\dots$

Ja, takk skal dere ha. Jeg ser at når x går mot 0 så vil g(x) gå mot f(0), som er begrenset. Slik som du sa, så får jeg at g(x) er alltid mindre enn M - M/x, og dette vil da alltid være mindre enn en mengde A, fordi at M-M/x ikke kan gå mot 0 (fordi der er den begrenset), og den vil følgelig være begrenset for alle x. (Setter man inn et hvilket som helst tall x, vil man da altså alltid kunne sette en mengde A større enn M-M/x.

Glem det, herregud

EDIT: Jeg mente M - 1/x, og ja...

EDIT: Som jeg egentlig mente var M - 0/x -_-