matematikk.net

Hei,

Jeg er ikke helt i slaget i dag og irriterer meg over at jeg ikke får til følgende oppgave.

.

Jeg skjønner jo at jeg kan skrive om via Green's slik at jeg får

[tex]\int \int_C (y \frac{\partial f}{\partial x} - x \frac{\partial f}{\partial y}) dxdy[/tex]. Likevel ser jeg ikke umiddelbart hvorfor dette blir 0. Kan det lede noen vei at vi kan skrive følgende?:

[tex]\int \int_C (y \frac{\partial f}{\partial x} - x \frac{\partial f}{\partial y}) dxdy = \int \int_C \nabla f \cdot (y, -x) dxdy[/tex].

Jeg tar gjerne imot et lite hint.

På forhånd takk.

Okey, nå sitter jeg her og er trøtt og fomler med noen greier. Føler jeg er på meget tynn is, og er ikke sikker på om det er lov å gjøre alt jeg gjør. Men jeg prøver likevel.

Forsøk 1:

Jeg velger å bytte til polakoordinater med [tex]x=r \cos\theta[/tex] og [tex]y=r \sin\theta[/tex]. Dette gir [tex]\partial x = -r\sin\theta \partial \theta[/tex] og [tex]\partial y = r\cos\theta \partial \theta[/tex]. (Kan jeg skrive "partielle" differensialer på måten jeg gjør?)

Deretter skriver jeg om [tex]f(x,y)[/tex] til [tex]f(r\cos\theta,r\sin\theta)[/tex] og fyller inn som vist under.

[tex]\int \int_C (y \frac{\partial f}{\partial x} - x \frac{\partial f}{\partial y}) dxdy = \int \int_C r\sin\theta \frac{\partial f}{-r\sin\theta \partial \theta} - r\cos\theta \frac{\partial f}{r\cos\theta \partial \theta}) r d\theta dr = \int \int_C( -\frac{\partial f}{ \partial \theta} - \frac{\partial f}{ \partial \theta}) r d\theta dr = -2 \int_0^R (\int_0^{2\pi} \frac{\partial f}{ \partial \theta} d\theta) r dr = -2 \int_0^R (f(r\cos2\pi,r\sin2\pi)-f(r\cos 0,r\sin0))rdr = 0[/tex]
fordi [tex](r\cos2\pi,r\sin2\pi)[/tex] og [tex](r\cos0,r\sin0)[/tex] er samme punkt.
Kan dette stemme? Jeg har ikke peiling på om all den triksinga jeg gjør egentlig er lov. Det ser ganske shady ut. Er ikke sikker på om den siste slutninga er lovlig heller, da jeg ikke har integrert med hensyn på r enda.

Edit: Ok, jeg prøver uten å bruke Green's, men å bare bruke polarkoordinater. Forsøk 2:

[tex]\oint_C xf(x,y)dx + yf(x,y)dy = \oint_C r\cos\theta f(x,y)(-r\sin\theta d \theta)+ r\sin\theta f(x,y)(r\cos\theta d\theta) = \oint_C 0 = 0[/tex].
Men her er spørsmålet: har jeg lov til å substituere for [tex]dx[/tex] og [tex]dy[/tex] på det viset jeg gjør? Er usikker når det er blandinger av [tex]d[/tex]'er og [tex]\partial[/tex]'er. Klarer ikke å tenke om jeg skal skrive [tex]\partial y = r\cos\theta \partial \theta[/tex] eller [tex]d y = r\cos\theta d \theta[/tex]. Jeg tenker den siste siden [tex]r[/tex] uansett er en konstant når vi beveger oss rundt en sirkel. Da er det bare tex]\theta [/tex] som varierer.

Den siste der ser i hvertfall riktig ut.

Litt usikker på hvordan jeg skal begrunne b) da

Ulikheten skal gjelde for alle punkt (x,y) innenfor sirkelen. Hva med origo?

Ah, selvfølgelig. Takk!