matematikk.net

Heisann:)

Hvis jeg har en egenverdi som er 0 og en som er negativ. Blir det lineariserte systemet stabilt eller lokalt asymptotisk stabilt da?

Slik jeg har forstått det er:

Egenverdier < 0
Linearisert: Asymptotisk stabilt
Ikke-lineært: Lokalt asymptotisk stabilt

Egenverdier <= 0
Linearisert: Stabilt/LAS?
Ikke-lineært: Uvisst?

Egenverdier > 0
Ustabilt

Hvis egenverdien har en imaginær enhet er det realdelen som bestemmer, og betegnelsene blir samme som over? Noen som kan oppklare litt for meg?

Takk på forhånd:)

Hei,

helt generelt så kan man si at for lineære systemer så vil stabilitets-analysen være global, mens for ulineære systemer vil analysen være lokal.

For en lineariseringsanalyse av systemer som er i en tilstand hvor ingen av egenskapene varierer med tid (steady state) har vi:
- lokalt asymptotisk stabilitet (LAS) hvis realdelene til alle egenverdiene er negative
- ustabilitet hvis realdelen til minst en av egenverdiene er positiv
- uavklart hvis realdelen til en av egenverdiene er lik 0.

Vi trenger altså andre metoder for å fastslå stabilitet hvis realdelen til en egenverdi er lik 0 og de andre egenverdiene har negativ realdel. Grunnen til dette er når man får egenverdier med realdel lik 0, vil systemet oppføre seg som en udempet oscillator. Dette er ikke direkte ustabilt i seg selv, men siden enhver forstyrring i systemet vil føre systemet ut av steady state, uten at man kan komme tilbake, klassifiserer man ofte dette som ustabilt. Dette er altså en ugunstig situasjon fra et design-synspunkt.

Det stemmer at det er realdelen som bestemmer stabilitet, og ikke imaginærdeler. Fortegnet på imaginærdelen sier derimot noe om faseskiftingen til oscillasjonen, men er ikke avgjørende for stabilitet!

Tusen takk!