Uegentlige integraler

[Integralen]

Oppgave 9.5.3 b

Avgjør om integralet konvergerer eller divergerer.

[tex]\int_1^\infty \frac{x+2}{\sqrt{x^3+x^5}}dx[/tex]

Hvordan avgjøre det?

Må man ikke løse integralet først for så å putte grensene inn?Hvordan?

[Janhaa]

dytter du den inn i Wolfram får du "svar" innholdene elliptiske integraler.

slenger du ut helt psyke integraler for moro skyld...

[Integralen]

jeg legger ut oppgaven fra matteboka som den er skrevet, har redigert oppe.

hvordan løse denne nå da?

[Nebuchadnezzar]

Legg merke til at
$
\displaystyle I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\left( \frac{1}{\sqrt{u}} + 2\sqrt{u} \right) \, \mathrm{d}u
$
Via $ x = 1/u$, og at
$
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \leq \frac{ 1 }{ \sqrt{1+x^2} }\left( \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } + 2\sqrt{x} \right)
\leq \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } + 2\sqrt{x} \quad \forall \, x \in [0,1]
$.

Et tåpelig godt øvre og nedre estimat er gitt via en kombinasjon av taylor og magi. Betgner integralet ditt som $I$, og hnholdsvis nedre og øvre estimat som $I_L$ og $I_U$.

$$ \begin{gather} I_L & = & \int_0^1 \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}(x-1) + \frac{1}{3\sqrt{2}}(x-1)^2\,\mathrm{d}x & = & \frac{43}{12\sqrt{2}} \\
I_U & = & \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x & = & \frac{64}{5\sqrt{30}} + \frac{21}{20\sqrt{2}} \end{gather}.$$
Da er
$$ I_L < I < I_U $$.
Hvor
$$
f(x) =
\left\{ \begin{array}{rrr}
\frac{ 1 + 2x}{ \sqrt{x} } & \text{når} & x \in [0,3/10) \\
(\alpha - \beta)x + \beta - \frac{3}{10}\alpha & \text{når} & x \in [3/10,1]
\end{array} \right.
$$
Hvor $\alpha = \frac{30}{7\sqrt{2}}$ og $\beta = \frac{160}{7\sqrt{30}}$.

EDIT: Alternativt kan en og se at

$$ I \approx \int_0^1 10.2956864*x^2-13.6253148*x+6.36883759 \, \mathrm{d}x $$
Hvor polynomet ble trekt opp av lineære metoder hatten / universitetsmattehatten.

[Integralen]

Takker

[Nebuchadnezzar]

Altså tar du integralet fra $x=0$ til $x=1$, i andre linje i innlegget mitt. Da ender du opp med at integralet på høyre side konvergerer og venstre side konvergerer slik at

tall < integral < tall

og siden verdien av integralet ditt ligger mellom to tall, konvergerer det. Helt tilsvarende på den andre oppgaven du spurte om. Nei, du trenger ikke å regne ut integralet for å bestemme om det konvergerer. Du trenger bare å finne to funksjoner, integranden ligger mellom som konvergerer.