Legg merke til at
$
\displaystyle I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\left( \frac{1}{\sqrt{u}} + 2\sqrt{u} \right) \, \mathrm{d}u
$
Via $ x = 1/u$, og at
$
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \leq \frac{ 1 }{ \sqrt{1+x^2} }\left( \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } + 2\sqrt{x} \right)
\leq \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } + 2\sqrt{x} \quad \forall \, x \in [0,1]
$.
Et tåpelig godt øvre og nedre estimat er gitt via en kombinasjon av taylor og magi. Betgner integralet ditt som $I$, og hnholdsvis nedre og øvre estimat som $I_L$ og $I_U$.
$$ \begin{gather} I_L & = & \int_0^1 \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}(x-1) + \frac{1}{3\sqrt{2}}(x-1)^2\,\mathrm{d}x & = & \frac{43}{12\sqrt{2}} \\
I_U & = & \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x & = & \frac{64}{5\sqrt{30}} + \frac{21}{20\sqrt{2}} \end{gather}.$$
Da er
$$ I_L < I < I_U $$.
Hvor
$$
f(x) =
\left\{ \begin{array}{rrr}
\frac{ 1 + 2x}{ \sqrt{x} } & \text{når} & x \in [0,3/10) \\
(\alpha - \beta)x + \beta - \frac{3}{10}\alpha & \text{når} & x \in [3/10,1]
\end{array} \right.
$$
Hvor $\alpha = \frac{30}{7\sqrt{2}}$ og $\beta = \frac{160}{7\sqrt{30}}$.
EDIT: Alternativt kan en og se at
$$ I \approx \int_0^1 10.2956864*x^2-13.6253148*x+6.36883759 \, \mathrm{d}x $$
Hvor polynomet ble trekt opp av lineære metoder hatten / universitetsmattehatten.
