Side 1 av 2
Konvergens av rekke
Lagt inn: 22/05-2013 14:35
av Flabbrø
a) Anta at følgen [tex]\{c_n\}[/tex] er begrenset og at rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] konvergerer absolutt. Vis at rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty c_n a_n[/tex] konvergerer.
b) Gjelder resultatet i a) dersom vi antar [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] konvergerer istedenfor å konvergere absolutt?
Min løsning på a):
Lar [tex]c=\max\{|c_n|\}[/tex].
For hver [tex]N[/tex] er
[tex]\sum_{n=1}^N |c_n a_n|\le \sum_{n=1}^N c|a_n| \le \sum_{n=1}^\infty c|a_n|[/tex]
Siden [tex]\sum_{n=1}^\infty |c_n a_n|[/tex] da er begrenset, må den også være konvergent.
Blir dette riktig? Det at de spør etter bevis for konvergens, og ikke absolutt konvergens, får meg litt i tvil. På oppgave b) vet jeg ikke helt hva jeg skal gjøre, så tar gjerne imot hjelp til den.
På forhånd takk.
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 22/05-2013 19:19
av wingeer
Jeg vet ikke om det har skjedd noe med Latex-koden din, men det ser litt ufullstendig ut herfra?
Husk at du ønsker å vise at rekken konvergerer. Da kan det være lurt å starte med det. I.e.
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} c_n a_n[/tex].
Kan du bruke opplysningene du har på noen måte til å vise at dette må konvergere?
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 22/05-2013 19:28
av wingeer
For b)
Klarer du å komme opp med et moteksempel? Alternerende rekker vil være nærliggende ...
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 22/05-2013 20:09
av Flabbrø
Det manglet litt i innlegget, ja. Har rettet det opp nå.
Angående moteksempel, så bør vel dette fungere:
[tex]c_n=(-1)^n[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}[/tex]
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 22/05-2013 21:19
av wingeer
Det er faktisk akkurat det samme eksempelet jeg brukte.
Angående a)
Jeg tenkte ikke så langt. Jeg antar at det er snakk om følger i $\mathbf{R}$ og siden det rommet er Banach har man at absolutt konvergens => konvergens. Med andre ord har du vist konvergens siden følgen av delvis absolutte summer er monotont stigende og begrenset.
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 23/05-2013 15:42
av Flabbrø
Skulle være i [tex]\mathbb{R}[/tex], ja. Mange takk for hjelpen.
Har for øvrig en oppgave til jeg lurer på:
Avgjør om rekken konvergerer eller divergerer.
[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}[/tex]
Hverken rottesten eller forholdstesten gir noen konklusjon, så jeg tenker jeg bør finne en annen (divergerende forteller Wolfram|Alpha) rekke å sammenligne med, men hvilken kan jeg bruke?
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 23/05-2013 16:35
av fuglagutt
En ganske så stygg måte å gjøre det på:
[tex]\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n(n+1)} = \frac{\frac{n^n}{(n+1)^n}}{n+1}[/tex]
Her kan du gjenkjenne at [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} = 1/e[/tex]
Evt bare se at den går mot en konstant. Vi ser at funksjonen over er synkende, altså er den alltid høyere enn 1/e, og vi kan skrive:
[tex]\sum_{n=1} ^{\infty} \frac{\frac{n^n}{(n+1)^n}}{n+1} >\sum_{n=1} ^{\infty} \frac{\frac{1}{e}}{n+1}[/tex]
Så holder det å vise at den siste rekka der divergerer
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 23/05-2013 16:37
av Nebuchadnezzar
La $a_n$ være lik det $n$'te leddet ditt og $b_n=1/n$.
Vis at $\lim_{n\to\infty} b_n/a_n$ er endelig, og siden $b_n$ diverger vil og $a_n$ divergere.
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 23/05-2013 17:25
av Flabbrø
Ah, tenkte ikke på å teste med brøken den veien, men det er jo også mulig. Takk til begge.
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 23/05-2013 17:48
av Nebuchadnezzar
Hvilken vei du tester brøken er likegyldig
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 07/06-2013 14:35
av Flabbrø
Hvordan bør jeg løse denne?
Vis at [tex]\sum_{n=0}^\infty a_n[/tex] konvergerer hvis og bare hvis [tex]\sum_{n=0}^\infty \ln(1+a_n)[/tex] konvergerer.
På forhånd takk.
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 08/06-2013 06:19
av Gustav
Flabbrø skrev:Hvordan bør jeg løse denne?
Vis at [tex]\sum_{n=0}^\infty a_n[/tex] konvergerer hvis og bare hvis [tex]\sum_{n=0}^\infty \ln(1+a_n)[/tex] konvergerer.
På forhånd takk.
Dette stemmer vel ikke uten videre. F.eks. dersom $a_0=-1$, og $a_n=0$ for alle andre n.
Er det en antagelse om at $a_n\geq 0$?
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 08/06-2013 08:53
av Flabbrø
Det har du helt rett i at det er. Glemte å ta det med. Beklager.
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 08/06-2013 13:53
av Gustav
Den ene veien kan du bruke at $x>\ln (1+x)$ for alle positive x, og sammenligningstesten.
Re: Konvergens av rekke
Lagt inn: 08/06-2013 20:44
av Flabbrø
Takk. Men så langt kom jeg faktisk. Skulle ha nevnt det, tar lærdom.
Hva med andre vei?