matematikk.net

Se på dette eksamenssettet http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... 110V11.pdf , oppgave 3b). Det står at man skal finne maksimumspunktet. Men jeg finner bare ett stasjonært punkt; (1,1,1), og dette har jeg funnet ut at faktisk er et sadelpunkt jfr. annenderiverttesten (for tre variabler) - Hesse-matrisen har nemlig både negative og positive egenverdier...

Eller er det jeg som bommer?

Du må jo ta hensyn til bibetingelsen. F.eks. kan du skrive $z=3-x-y$ og substituere dette inn i funksjonen, så $f(x,y)=xy+(x+y)(3-x-y)$. Bruk så annenderiverttesten på denne funksjonen av to variable.

plutarco skrev:Du må jo ta hensyn til bibetingelsen. F.eks. kan du skrive $z=3-x-y$ og substituere dette inn i funksjonen, så $f(x,y)=xy+(x+y)(3-x-y)$. Bruk så annenderiverttesten på denne funksjonen av to variable.

Kan jeg ikke bruke annenderiverttesten om jeg allerede har benyttet meg av Lagrange-multiplikatorer i forhold til bibetingelser? Så på løsningsforslaget de hadde lagt ut, og der hadde de brukt Lagrange-multiplikator-teorien med én bibetingelse. De hadde dog ikke sjekket om dette stasjonære punktet faktisk var et maksimum...

Hadde du skrevet i detalj hva du hadde gjort hadde det vært lettere å kommentert.

Skal vi se. $f(x,y)=3x-x^2-xy+3y-y^2$, så $f_{xx}=-2$, $f_{yy}=-2$, $f_{xy}=-1$, så Hessedeterminanten er (-2)^2-1=3>0, og f_{xx}<0, så vi har et lokalt maksimum

plutarco skrev:Hadde du skrevet i detalj hva du hadde gjort hadde det vært lettere å kommentert.

Skal vi se. $f(x,y)=3x-x^2-xy+3y-y^2$, så $f_{xx}=-2$, $f_{yy}=-2$, $f_{xy}=-1$, så Hessedeterminanten er (-2)^2-1=3>0, og f_{xx}<0, så vi har et lokalt maksimum

Jeg brukte annenderiverttesten på den tredimensjonale funksjonen f da... tenkte å evaluere denne i det stasjonære punktet jeg fant via Lagrange-multiplikatorer. Den 3x3-Hesse-matrisen var uavhengig av variabler, helt like over hele definisjonsområdet, så burde vel ant ugler i mosen.

Det blir jo feil å gjøre det slik da du da ikke tar hensyn til betingelsen.

Det blir som å skulle maksimere en funksjon av to variable på en sirkel i R^2. Du kan godt ha et lokalt maksimum for f(x,y) på sirkelen uten at du har et lokalt maksimum for f(x,y). F.eks. hvis $f(x,y)=x+y$. Restriksjonen av f(x,y) på $x^2+y^2=1$ har lokalt maksimum, men f(x,y) på hele planet har ingen maksimum .

Ja, dette skjønner jeg. Takker for hjelpen!

Syns dog det var litt rart at de da brukte Lagrange-multiplikatorer i løsningsforslaget til oppgaven. Kan jo ha vært noen andre som skrev løsningsforlaget.