Mitt svar: Via analysende fundamentalteorem er $h'(x)=g(x)$. Dermed, siden g er positiv, er $h'(x)$ også det. h er opplagt positiv siden integralet av en positiv funksjon er positivt - jfr. integralet som areal av funksjoner. Dette gjør at h også er positiv og voksende.
"b) Vis at $h(x) \leq g(x)$ for alle $x \in [0,1]$."
Mitt svar: $h(x)$ er uansett mindre enn eller lik $g(x)$ på intervallet multiplisert med $x$ (tenk på det som utregning av areal av et rektangel). Men siden $|x| \leq 1$ må dette rektangelet igjen være mindre enn eller lik $g(x)$. Hvilket forklarer påstanden.
"c) Definer følgen $\{ a_n(x) \}_{n=1}^\infty$ ved: $a_1(x)=g(x)$, $a_2(x)=\int_0^x{g(t)}dt$, . . ., $a_n(x) = \int_0^x{a_{n-1}(t)}dt$. Vis at følgen konvergerer for hver fast $x \in [0,1]$."
Mitt svar: Her er jeg usikker. Det hadde vært "opplagt" om h hadde vært monotont voksende, for da kunne man bare "gjenbrukt" formelen i a) for hvert ledd i følgen, og pga. resultatet i b) ville denne gått mot null sett at ulikheten i b) hadde vært streng (noe den intuitivt er, da g ellers måtte ha vært en konstant). (Man må vel nesten vise at h er kontinuerlig og?)
Noen innspill?
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)