Bevis relatert til definisjonen av den deriverte
Lagt inn: 27/06-2013 19:46
Oppgave: "Alt vi vet om funksjonen $f : (0,\infty) \rightarrow R$ er $f(xy)=f(x)+f(y)$ for alle $x,y \in (0,\infty)$, $f$ er deriverbar i $x=1$ med $f'(1)=k$. Vår oppgave er å finne ut mer om $f$. a) Vis at $f(1)=0$. b) Vis at $f(x+h)=f(x)+f(1+\frac{h}{x})$. Bruk dette til å vise at $f'(x)=\frac{k}{x}$."
Jeg har klart a) og første del av b), men lurer på om jeg kan gjøre følgende for siste del av b):
$xf'(x)=x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+\frac{h}{x})}{h} = x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+\frac{h}{x})-f(1)}{h} = \lim_{\frac{h}{x} \rightarrow 0} \frac{f(1+\frac{h}{x})-f(1)}{\frac{h}{x}} = f'(1) = k \Rightarrow f'(x) = \frac{k}{x}$.
Jeg syns jo det ser riktig ut, og det virker som det var dette oppgaven hintet til. Men jeg vet ikke. Årsaken til at jeg har litt tvil er at jeg "tuller" med definisjonen av den deriverte med å blande inn en ekstra x. Artig oppgave da…
Siste del av oppgaven lyder slik: "c) Vis at $f(x)=k \ln{x}$." Denne kan noen andre få bryne seg på, i og med at jeg selv har løst den.![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Jeg har klart a) og første del av b), men lurer på om jeg kan gjøre følgende for siste del av b):
$xf'(x)=x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+\frac{h}{x})}{h} = x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+\frac{h}{x})-f(1)}{h} = \lim_{\frac{h}{x} \rightarrow 0} \frac{f(1+\frac{h}{x})-f(1)}{\frac{h}{x}} = f'(1) = k \Rightarrow f'(x) = \frac{k}{x}$.
Jeg syns jo det ser riktig ut, og det virker som det var dette oppgaven hintet til. Men jeg vet ikke. Årsaken til at jeg har litt tvil er at jeg "tuller" med definisjonen av den deriverte med å blande inn en ekstra x. Artig oppgave da…
Siste del av oppgaven lyder slik: "c) Vis at $f(x)=k \ln{x}$." Denne kan noen andre få bryne seg på, i og med at jeg selv har løst den.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)