matematikk.net

Jeg fyrer løs men nok et spørsmål, jeg! Det er jo bare å la være å svare hvis det blir for mye.

For det første lurer jeg på hvordan man skal beregne $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^0{x}dx$. Ser jo at $\tan^0{x} = 1$ på $(0,\frac{\pi}{4}]$, men hva med for $x=0$?

Det andre jeg lurer på er hvordan vise at $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n{x}dx = 0$. Det er jo intuitivt lett å se; $\tan{x} < 0$ på $[0,\frac{\pi}{4})$. Man kan jo argumentere med at når $n \rightarrow \infty$ så vil $\tan^n{x} \rightarrow 0$ på $[0,\frac{\pi}{4})$, slik at $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n{x}dx \rightarrow 0$ på $[0,\frac{\pi}{4})$. (Arealet under en graf med uendelig liten funksjonsverdi blir uendelig lite.) Men det blir litt kluss for meg når $x=\frac{\pi}{4}$.

Det er kanskje ikke særlig formelt uansett...

På forhånd takk!

Besvarer ditt første spørsmål. I matematikken er det vanlig å definere [tex]0^0 = 1[/tex] (av diverse mer eller mindre praktiske årsaker). Hvis du ikke ønsker å bruke dette kan man vise at [tex]\lim_{x \to 0^+} tan^0(x) = 1[/tex] og bruke teorien om uekte integraler (improper integrals) til å regne ut integralet. (Basically er grensene i integrasjonen grenser i seg selv istedenfor reelle tall.)

Nå til andre del. Regner med du mener å si at [tex]0 \leq tan(x) < 1[/tex] når [tex]x \in [0,\pi/4)[/tex]. Det du sikkert mener er at når [tex]n \rightarrow \infty[/tex] så vil [tex]tan^n(x) \rightarrow 0[/tex] på [tex][0,\pi/4)[/tex]. Dette holder som et (ganske godt) intuitivt argument da funksjonsverdien i punktet [tex]x = \frac{\pi}{4}[/tex] alene ikke har noe å si.

Under gitte betingelser kan man flytte grensen innenfor integraltegnet og jeg mistenker at dette er noe man kan gjøre her. (Har dessverre ikke resultatet i hodet.)

En annen måte å angripe problemet på vil være å evaluere integralet og så evaluere grensen. Dessverre har ikke [tex]tan^n(x)[/tex] noen særlig pen antiderivert såvidt meg bekjent, så dette er kanskje ingen god idé.

Hvor er problemet hentet fra forresten?

Pjolter skrev:Besvarer ditt første spørsmål. I matematikken er det vanlig å definere [tex]0^0 = 1[/tex] (av diverse mer eller mindre praktiske årsaker). Hvis du ikke ønsker å bruke dette kan man vise at [tex]\lim_{x \to 0^+} tan^0(x) = 1[/tex] og bruke teorien om uekte integraler (improper integrals) til å regne ut integralet. (Basically er grensene i integrasjonen grenser i seg selv istedenfor reelle tall.)

Hm... ja.

$\tan^0{x} = 1$ på $\mathbb{R}$ (ved definisjon der $\tan{x}=0$)...

Det må vel være bra nok argumentasjon dette?

Takk for svar!

Kommer an på nivået du er på. Hvor er oppgaven hentet fra?

Pjolter skrev:Nå til andre del. Regner med du mener å si at [tex]0 \leq tan(x) < 1[/tex] når [tex]x \in [0,\pi/4)[/tex]. Det du sikkert mener er at når [tex]n \rightarrow \infty[/tex] så vil [tex]tan^n(x) \rightarrow 0[/tex] på [tex][0,\pi/4)[/tex]. Dette holder som et (ganske godt) intuitivt argument da funksjonsverdien i punktet [tex]x = \frac{\pi}{4}[/tex] alene ikke har noe å si.

Under gitte betingelser kan man flytte grensen innenfor integraltegnet og jeg mistenker at dette er noe man kan gjøre her. (Har dessverre ikke resultatet i hodet.)

En annen måte å angripe problemet på vil være å evaluere integralet og så evaluere grensen. Dessverre har ikke [tex]tan^n(x)[/tex] noen særlig pen antiderivert såvidt meg bekjent, så dette er kanskje ingen god idé.

Hvor er problemet hentet fra forresten?

Sett at man kan flytte grensetegnet under integraltegnet, så vil men vel ikke kunne si at $\tan^n{0} \to 0$ for alle $x$... du har jo fotsatt $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$...

Problemet er hentet fra Tom Lindstrøm sin "Kalkulus"!

Pjolter skrev:Kommer an på nivået du er på. Hvor er oppgaven hentet fra?

Dette er til første kurs i analyse!

Vi integrerer fra [tex]0[/tex] til [tex]\pi/4[/tex] så vi trenger kun bry oss om [tex]x \in [0,\pi/4][/tex]. Vi argumenterte over for at [tex]tan^n(x) \to 0[/tex] når [tex]n \to \infty[/tex] for [tex]x \in [0,\pi/4)[/tex]. For [tex]x = \pi/4[/tex] så har vi at [tex]tan(\pi/4) = 1[/tex] så [tex]tan^n(\pi/4) = 1[/tex] for alle [tex]n[/tex].

Ved å flytte grensen innenfor integralet skal vi i praksis integrere en funksjon som er [tex]0[/tex] på [tex][0,\pi/4)[/tex] og [tex]1[/tex] på [tex]x = \pi/4[/tex] fra [tex]0[/tex] til [tex]\pi/4[/tex]. Dette blir [tex]0[/tex] da funksjonsverdien i [tex]x = \pi/4[/tex] ikke har noe å si.

Pjolter skrev:Vi integrerer fra [tex]0[/tex] til [tex]\pi/4[/tex] så vi trenger kun bry oss om [tex]x \in [0,\pi/4][/tex]. Vi argumenterte over for at [tex]tan^n(x) \to 0[/tex] når [tex]n \to \infty[/tex] for [tex]x \in [0,\pi/4)[/tex]. For [tex]x = \pi/4[/tex] så har vi at [tex]tan(\pi/4) = 1[/tex] så [tex]tan^n(\pi/4) = 1[/tex] for alle [tex]n[/tex].

Ved å flytte grensen innenfor integralet skal vi i praksis integrere en funksjon som er [tex]0[/tex] på [tex][0,\pi/4)[/tex] og [tex]1[/tex] på [tex]x = \pi/4[/tex] fra [tex]0[/tex] til [tex]\pi/4[/tex]. Dette blir [tex]0[/tex] da funksjonsverdien i [tex]x = \pi/4[/tex] ikke har noe å si.

Jeg håper jeg ikke oppleves som en kverulant, men jeg syns ikke dette er helt "formelt"...

Men uansett, takk for hjelpen.

Det er helt riktig at det ikke er "helt formelt". Føler meg ikke 100% komfortabel med smådetaljene atm så da er det best å ikke skrive noe tull.

Jeg mener/tror at når vi skal se på grensen til [tex]tan^n(x)[/tex] når [tex]n \to \infty[/tex] på et intervall må man muligens inn med et begrep som heter uniform konvergens. (Basically, "pen" konvergens.) Hvis man har uniform konvergens vil ting være pent og pyntelig og det over vil fungere.

Dessverre har jeg ikke boka for hånden (eier den ikke i det hele tatt faktisk) og det begynner å bli en stund siden jeg hadde stoffet selv (var ingen ekspert da heller!) så jeg er redd jeg ikke får hjulpet deg mer i denne omgang. Så du får håpe at noen andre med litt mer inngående analysekunnskaper melder seg

Hvis du ikke får noe mer svar her vil jeg anbefale nettsiden http://math.stackexchange.com/. Her kan du legge ut spørsmålet ditt og du vil antagelig få mange gode svar. Men prøv gjerne å 'google' først.

Pjolter skrev:Det er helt riktig at det ikke er "helt formelt". Føler meg ikke 100% komfortabel med smådetaljene atm så da er det best å ikke skrive noe tull.

Jeg mener/tror at når vi skal se på grensen til [tex]tan^n(x)[/tex] når [tex]n \to \infty[/tex] på et intervall må man muligens inn med et begrep som heter uniform konvergens. (Basically, "pen" konvergens.) Hvis man har uniform konvergens vil ting være pent og pyntelig og det over vil fungere.

Dessverre har jeg ikke boka for hånden (eier den ikke i det hele tatt faktisk) og det begynner å bli en stund siden jeg hadde stoffet selv (var ingen ekspert da heller!) så jeg er redd jeg ikke får hjulpet deg mer i denne omgang. Så du får håpe at noen andre med litt mer inngående analysekunnskaper melder seg

Hvis du ikke får noe mer svar her vil jeg anbefale nettsiden http://math.stackexchange.com/. Her kan du legge ut spørsmålet ditt og du vil antagelig få mange gode svar. Men prøv gjerne å 'google' først.

Hehe, det går bra. Virker jo som problemet er litt vanskelig i "kalkulus"-setting uansett.

Jeg finner nok ut av det bare jeg får lest mer teori.

Takk for hjelpen.

For meg virker det som om disse oppgavene handler om at integralets verdi ikke avhenger av funksjonen i enkelte punkt. Integralet av funksjonen $ f(x) = 0 $ for $ x\neq 0 $, $ f(0) = 10 $ er for eksempel 0 på alle intervaller. Trikset er å finne en måte slik at du ikke trenger å bry deg om verdiene ved 0 og $\pi / 2$.

jhoe06 skrev:For meg virker det som om disse oppgavene handler om at integralets verdi ikke avhenger av funksjonen i enkelte punkt. Integralet av funksjonen $ f(x) = 0 $ for $ x\neq 0 $, $ f(0) = 10 $ er for eksempel 0 på alle intervaller. Trikset er å finne en måte slik at du ikke trenger å bry deg om verdiene ved 0 og $\pi / 2$.

Kan jeg si $\lim_{n \to \infty }\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n{x}dx = \lim_{n \to \infty } \lim_{a \to 0^+} ( \int_0^a\tan^n{x}dx + \int_a^{\frac{\pi}{4}}\tan^n{x}dx ) = \lim_{n \to \infty } (0 + \lim_{a \to 0}\int_a^{\frac{\pi}{4}}\tan^0{x}dx ) = 0$?

@pjolter: følgen $f_n(x)=\tan^n x $ konvergerer ikke uniformt mot 0 på $[0,\frac{\pi}{4})$.

@determined: tror du kan komme i mål gjennom å bruke definisjonen av Riemannintegralet (via Riemannsummer/trappesummer): finn en følge av partisjoner av intervallet slik at øvre Riemannsum går mot 0.

( F.eks. bruk partisjoneringen $\mathcal{P}_n=\{0,\frac{\pi}{4}-\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{\pi}{4}\}$ )

EDIT: Rettet opp i partisjoneringen

plutarco skrev:@pjolter: følgen $f_n(x)=\tan^n x $ konvergerer ikke uniformt mot 0 på $[0,\frac{\pi}{4})$.

@determined: tror du kan komme i mål gjennom å bruke definisjonen av Riemannintegralet (via Riemannsummer/trappesummer): finn en følge av partisjoner av intervallet slik at øvre Riemannsum går mot 0.

( F.eks. bruk partisjoneringen $\mathcal{P}_n=\{0,\frac{\pi}{4}-\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{\pi}{4}\}$ )

EDIT: Rettet opp i partisjoneringen

Høres smart og riktig ut å bruke Riemannintegralet, men den partisjonen du oppgir - blir ikke første "maske" intervallet fra $0$ til $\frac{\pi}{4}-1$? Hver maske må jo gå mot 0...