matematikk.net

Hei.

Sliter litt med en oppgave her.
"Finn det største tallet [tex]\delta[/tex] slik at hvis [tex]|x-4|<\delta[/tex], så er [tex]|f(x)-7|<0.08[/tex], hvor:

[tex]f(x) = \sqrt{3x+4}+3[/tex]"

Her er jeg ganske lost. Skjønner egentlig veldig lite av hvordan jeg skal angripe oppgaven. Har dere noen tips?

Begynn med [tex]|f(x) - 7| < 0.08[/tex]. Det du må gjøre er å komme deg fra den ulikheten og frem til en som gjelder for [tex]|x-4|[/tex]. Det første du kan gjøre er å skrive om ulikheten litt; at [tex]|f(x) - 7| < 0.08[/tex] vil egentlig si at [tex]-0.08 < f(x) - 7 < 0.08[/tex], ikke sant? Kan du manipulere denne dobbeltulikheten ved å legge til trekke fra, opphøye osv. til du kommer frem til en dobbeltulikhet der du har [tex]x - 4[/tex] i midten?

Niks. Helt blank.

Det jeg tenkte var at [tex]f(x) \in (7-0.08,7+0.08)[/tex], og at funksjonen er kontinuerlig på dette intervallet. Så finner jeg x-verdien for hhv f(x)=6,92 og f(x)=7,08, noe som er hhv. 2368/625 (3,7888) og 7904/1875 (4,21546666...).

Jeg tenker da at [tex]\delta[/tex] må være 4-3,7888 = 0,2112.

Det er hva jeg har prøvd, og jeg skjønner ingenting.

Da er du godt inne på tankegangen egentlig, men du kan sette det opp på en litt tydeligere måte. Som du sier har du at [tex]f(x) \in (7 - 0.08, 7 + 0.08)[/tex]. Det er det samme som å si at [tex]7 - 0.08 < f(x) < 7 + 0.08[/tex]. Denne siste måten å si det på er enklere å jobbe med, for i ulikheter kan vi legge til og trekke fra, gange og dele (ikke på 0) og så videre.

Målet er å komme oss fra [tex]7 - 0.08 < f(x) < 7 + 0.08[/tex] til noe på formen [tex]a < x - 4 < b[/tex], der a og b skal bestemmes. Vi gjør dette ved å starte med den første ulikheten, og manipulere den til vi har den siste:

[tex]7 - 0.08 < f(x) < 7 + 0.08[/tex]

Legger sammen tallene og benytter definisjonen av f:

[tex]6.92 < \sqrt{3x + 4} + 3 < 7.08[/tex]

Først kan vi trekke fra 3 på hver side. Det vil si i hvert "ledd" av ulikheten:

[tex]3.92 < \sqrt{3x+4} < 4.08[/tex]

Neste steg blir nå å opphøye i andre. Det må igjen gjøres i hvert "ledd":

[tex]15.3664 < 3x + 4 < 16.6464[/tex]

Nå er du kanskje med på tegninga? Vi gjør egentlig det samme som gjøres for å løse ligninger, men passer på å gjøre de samme operasjonene på alle sider av ulikhetstegnene. Kun da er ulikhetene bevart. Nå hopper jeg over de siste stegene. Det vi ønsker å ha i midten er x - 4. Da er det kanskje enklest å først få x alene i midten og så trekke fra 4. Jeg lar deg fylle ut detaljene. Jeg kommer da i hvertfall frem til følgende:

[tex]-0.2112 < x - 4 < 0.2155[/tex]

Det vi har funnet ut da er at for at [tex]f(x) \in (7 - 0.08, 7 + 0.08)[/tex], så må [tex]x \in (4 - 0.2112, 4 + 0.2155)[/tex]. Ser du da hva det største mulige valget for [tex]\delta[/tex] må være?

Største verdi for delta blir vel 0.2155?

(Har en tilsvarende oppg- men i flg. fasiten har jeg feil selv om jeg har brukt samme fremgangsmåte som deg. Gitt at 0.2155 faktisk er riktig)

Lurer også på dette Hvordan kom du fra [tex]15.3664 < 3x + 4 < 16.6464[/tex]
til [tex]-0.2112 < x - 4 < 0.2155[/tex] ??? Henger ikke helt med her

Urosmooth skrev:Lurer også på dette Hvordan kom du fra [tex]15.3664 < 3x + 4 < 16.6464[/tex]
til [tex]-0.2112 < x - 4 < 0.2155[/tex] ??? Henger ikke helt med her

4 flyttes fra midten og over til de to andre sidene av ulikhetstegnene: [tex]11.3664 < 3x < 12.6464[/tex]
Deretter deler man med 3: [tex]3.7888 < x < 4.2155[/tex]
Vi er ikke ute etter noe intervall for x i dette tilfellet, men [tex]x-4[/tex]
Da trekker man 4 fra alle sidene av ulikheten og får: [tex]-0.2112 < x - 4 < 0.2155[/tex]

mentalitet skrev:Største verdi for delta blir vel 0.2155?

(Har en tilsvarende oppg- men i flg. fasiten har jeg feil selv om jeg har brukt samme fremgangsmåte som deg. Gitt at 0.2155 faktisk er riktig)

Her er det vi må passe på. Største verdi for [tex]\delta[/tex] må faktisk bli 0.2112. Det er fordi absoluttverdien av -0.2112 er mindre enn 0.2155. Hvis vi velger 0.2155 så får vi at [tex]|x-4| < 0.2155 \ \Leftrightarrow \ -0.2155 < x - 4 < 0.2155[/tex], men det strider jo i mot vårt funn, nemlig at [tex]-0.2112 < x - 4 < 0.2155[/tex], siden [tex]-0.2155 < -0.2112[/tex]! Intervallet som x - 4 må befinne seg i blir altså for stort -- det inneholder noen x-verdier som gjør at avstanden fra f(x) til 7 slettes ikke blir mindre enn 0.08. Derfor blir faktisk [tex]\delta = 0.2112[/tex] den største verdien vi kan velge.

Vektormannen skrev:Derfor blir faktisk [tex]\delta = 0.2112[/tex] den største verdien vi kan velge.

Ja, så... Hvorfor i H*** fikk jeg feil svar på 0.2112 da?... Er sånn program som retter automatisk. Sikkert noe kludder med driten som tolker svarene. Drittprogram.