matematikk.net

Find the equation of the straight line that passes though the point (0,b) and is tangent to the curve y=1/x. Assume b different from zero


---
Tangentlinjen krysser altså y-aksen, og ettersom b er forskjellig fra null vet vi at tangenten ikke er horisontal. Tangeringspunktet vet vi ikke, men vi kan jo kalle det (a,(1/a)). Bruker ettpunktsformelen og finner m=(((1/a)-b)/a). Er jeg på riktig vei- eller..?

At b ikke er 0, betyr bare at den kan være et positivt eller negativt tall, men aldri 0. I denne oppgaven skal du bare finne den generelle formelen for tangenten til [tex]\frac {1}{x}[/tex] i punktet [tex](0, b)[/tex].

Likningen for tangenten kan jo skrives som, [tex]y_1 = ax + c[/tex], og du har allerede et punkt som kommer til hjelp her. Videre kan du se på den deriverte av y, og finne noe som hjelper ut ifra det.

Jeg kan vel si at y1=ax+b.

y'=-1/x^2

og a er det samme som den deriverte av y, eller? Da får jeg jo isåfall y=-(1/x)+b.

Ikke helt! Husk at [tex]y_1[/tex] skal være en rett linje, og ikke en kurve. Hvis du får et punkt på kurven du skal finne tangenen til, vil du (etter å ha funnet b) til slutt få [tex]y_1[/tex] lik likningen for en kurve. Du kan teste selv om du vil. Derfor er det lurere å sette [tex]x = x_1[/tex] i [tex]y_1[/tex], og så sette inn [tex]-\frac {1}{x^2}[/tex] for [tex]a[/tex] i [tex]y_1[/tex]. Når du da skal finne a og b for et oppgitt punkt, er det bare å sette inn gitte x- og y-verdier. Da vil du til slutt få en rett linje som er tangent til punktet.

Vet ikke helt om jeg henger med her. Fortsetter iallefall å få et svar som er forskjellig fra fasiten.

kort:
tangent gjennom (0,b) og (a, 0), middel-koordinat ((a/2), (b/2)) ligger på f = 1/x. der f ' = -1/x^2
dvs f(a/2) = b/2 = 2/a
altså ((2/b), (b/2))
[tex]f ^,(2/b) = - b^2 / 4[/tex]
====
[tex]y = (- b^2 / 4)*x + b[/tex]

Jeg henger med helt til f(a/2)=b/2=2/a. Hvordan kommer du til neste steget?

f (x) = 1/x
ergo
er f(2/b) = b/2
===
slope: f ' (x) = -1 / x^2
ergo
slope: f ' (2/b) = - 1 / (2/b)^2 = -b^2/4
da har du slope og ett pkt, nemlig (0,b)
dvs
[tex]y-b=(-b^2/4)x[/tex]
):
[tex]y=(-b^2/4)x+b[/tex]