matematikk.net

Hei

Jeg sliter skikkelig med en induksjonsoppgave. Den eneste type induksjon jeg har vært borti før, er med enkle funksjoner, og hvor man får oppgitt en S(n).

Oppgaven lyder slik;

Vis ved induksjon at den deriverte av [tex]sin(ax+b)[/tex] er gitt ved formelen:

[tex]f^{n}x=(-1)^k\cdot{a^n}sin(ax+b)[/tex] Når, [tex]n=2k[/tex]
[tex]f^{n}x=(-1)^k\cdot{a^n}cos(ax+b)[/tex] Når, [tex]n=2k+1[/tex]

Jeg har tenkt følgende;

Det er jo ganske lett å se at hvis du deriverer funksjonen noe ganger, så vil den stemme med mønsteret ovenfor.
Jeg begynner med å sette opp fundamentet, når [tex]n=1[/tex]. Da er [tex]k=0[/tex].

[tex]f^{1}x=(-1)^0\cdot{a^1}cos(ax+b)[/tex] som gir [tex]a\cdot{cos}(ax+b)[/tex] [tex]OK[/tex]

Så tenker jeg å betrakte de to funksjonene forskjellig for k. Hva hvis jeg betrakter sinusfunksjonen for partall, og cosinusfunksjonen for oddetall.

[tex]f^{2k}x=0+2+4+6........+2k=(-1)^k\cdot{a^{2k}}sin(ax+b)[/tex]
[tex]f^{2k+1}x=1+3+5+7........+2k+1=(-1)^k\cdot{a^{2k+1}}cos(ax+b)[/tex]

er jo ganske åpenbart for meg at vi må ta denne induksjonen i to steg.
Det jeg lurer på, er det riktig å sette dem lik funksjonene? I såfall, hvordan skal jeg gå frem for å regne det ut?

Setter stor pris på innspill.

Basetilfellet vil vel strengt tatt være $n=0$, men det er uansett trivielt å se at stemmer.
Videre antar man at formelen gjelder for $n=m$. Her blir du nødt til å betrakte to tilfeller: Tilfellet der $m$ er jamn og tilfellet der $m$ er odde. I begge tilfeller deriverer du funksjonen du sitter med når $n=m$ og viser at det samsvarer med hva formelen sier. Eksempelvis anta at $m$ er jamn, i.e. $m=2k$. Da har vi:
$f^{(m)}(x) = (-1)^k a^m \sin(ax+b)$. Vi deriverer uttrykket og får at $f^{(m+1)} = (-1)^k a^{m+1} \cos(ax+b)$, som vi ser samsvarer med hva vi skal vise. Vi har dermed bevist at formelen gjelder for partall. Tilfellet for oddetall etterlater jeg til deg.

Tusen Hjertelig