Sum og induksjon

[prasa93]

A lumberjack has 4n + 110 logs in a pile consisting of n layers. Each layer has two more logs than the layer directly above it. If the top layer has six logs, how many layers are there?

http://bildr.no/view/RUNGbTJl

Der er løsningsforslaget, men klarer ikke forstå det. Noen som kan være medhjelpelige?

[Phil Leotardo]

Lite forståelig akkurat det løsningsforslaget, så det får noen andre ta seg av.

Men du kan bruke formelen for sum av en aritmetisk rekke, som er [tex]\frac {n \cdot (a_1 + a_ n )} {2}[/tex], hvor [tex]a_n[/tex] er gitt ved [tex]a_1 + (n-1)d[/tex], hvor [tex]a_1[/tex] er [tex]6[/tex], og [tex]d[/tex] er [tex]2[/tex]. Sett uttrykket lik [tex]4n + 110[/tex] og løs for n.

Svar: 10.

[Kork]

Vi vet at det er 4n+110 stokker og at de er fordelt over
n lag med 6 på toppen og 2 fler i de etterfølgende radene: altså er

4n+110=6+8+10+...+(6+(n-1)2). (1)

Dette er riktig fordi at den nte raden som er den nederste må ha (n-1)2 flere stokker enn den øverste raden:f.eks den 3. raden må ha (3-1)2 flere stokker enn den 1. raden.

Videre så telles 6 n ganger slik at vi får 6n, da sitter vi igjenn med 2+4+6+...+(n-1)2 som, 2 settes utenfor parantesen og den aritmetiske rekken skrives som n(n-1)/2.

Helt til slutt tas høyresiden over til venstre og vi har en annengradslikning der n må være 10 eller -11 for at (1) skal være sann.