Tømme kjegletank

[Putekrig]

A water tank shaped like a cone pointing downwards is 10 metres high. 2 metres
above the tip the radius is 1 metre. Water is pouring from the tank into a cylindrical
barrel with vertical axis and diameter 8 metres. How fast is the height of the water
in the barrel changing when the height of the water in the tank is 4 metres, and is
decreasing at a rate of 0.2 metres per second?

Ser at volumet av vannet i kjegletanken er gitt ved

[tex]V(h) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{1}{2}h\right)^2 \cdot h = \frac{1}{12} \pi h^3[/tex]

Så har jeg prøvd å derivere alt mulig men klarer ikke å komme nærmere noen ting. Rotet masse med dV/dh og dV/dt og dh/dt osv osv men finner ikke ut av noen ting konkret. Hjelp??

[Janhaa]

http://www.matematikk.net/matteprat/vie ... 14&t=35695

[Putekrig]

Takk, den så jeg ikke...

dette er vel diff.likninga du trenger...

[tex]\large \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt}[/tex]

How fast is the height of the water in the barrel changing: dV/dh
[tex]\large \frac{dh}{dt}[/tex]:0,2 m/s

Kan du forklare hvordan du kom frem til det?

[Janhaa]

det du trenger er:

[tex]V(tank) = (\pi/12)*h^3= V(cyl)=\pi R^2 H[/tex]
så deriveres begge sider mhp tid

[tex](\pi/4)*h^2*(dh/dt)=\pi*R^2*(dH/dt)[/tex]

dH/dt skal du finne, resten er kjent

fin oppgave...

[Putekrig]

Aah.. Kult! Da har jeg gjort følgende:

[tex]V_{tank} = \frac{1}{12} \pi h^3 = V_{syl} = \pi r^2 H[/tex]

[tex]\frac{\textrm{d}V}{\textrm{d}t} = \frac{1}{4} \pi h^2 \cdot \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}t} = \pi r^2 \cdot \frac{\textrm{d}H}{\textrm{d}t}[/tex]

[tex]\frac{\textrm{d}H}{\textrm{d}t} = \frac{\cancel{\pi h^2} \cdot \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}t}}{4 \cdot \cancel{\pi r^2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}t} = \frac{0.2}{4} = \underline{\underline{0.05 \textrm{ m/s}}}[/tex]

Har dessverre ikke fasit, men har en mattemaskin i klassen som fikk samme svar, så antar det er rett... Takk for hjelp!

... Men hvorfor kan du sette Vtank lik Vsyl? Den ser jeg ikke helt.

[mikki155]

Hvis du går på forrige tråd, kan du se at jeg fikk samme svaret :p
Grunnen til at du kan sette volumet lik hverandre, er at vannet som renner ut per tid har samme volum selv om den er i sylinderen eller i tanken. Med andre ord opptar den samme volum i begge figurene, men formen på figurene (radius/høyde) er selvsagt annerledes.