matematikk.net

A water tank shaped like a cone pointing downwards is 10 metres high. 2 metres
above the tip the radius is 1 metre. Water is pouring from the tank into a cylindrical
barrel with vertical axis and diameter 8 metres. How fast is the height of the water
in the barrel changing when the height of the water in the tank is 4 metres, and is
decreasing at a rate of 0.2 metres per second?

Ser at volumet av vannet i kjegletanken er gitt ved

[tex]V(h) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{1}{2}h\right)^2 \cdot h = \frac{1}{12} \pi h^3[/tex]

Så har jeg prøvd å derivere alt mulig men klarer ikke å komme nærmere noen ting. Rotet masse med dV/dh og dV/dt og dh/dt osv osv men finner ikke ut av noen ting konkret. Hjelp??

Takk, den så jeg ikke...

Janhaa skrev:dette er vel diff.likninga du trenger...

[tex]\large \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt}[/tex]

How fast is the height of the water in the barrel changing: dV/dh
[tex]\large \frac{dh}{dt}[/tex]:0,2 m/s

Kan du forklare hvordan du kom frem til det?

det du trenger er:

[tex]V(tank) = (\pi/12)*h^3= V(cyl)=\pi R^2 H[/tex]
så deriveres begge sider mhp tid

[tex](\pi/4)*h^2*(dh/dt)=\pi*R^2*(dH/dt)[/tex]

dH/dt skal du finne, resten er kjent

fin oppgave...

Aah.. Kult! Da har jeg gjort følgende:

[tex]V_{tank} = \frac{1}{12} \pi h^3 = V_{syl} = \pi r^2 H[/tex]

[tex]\frac{\textrm{d}V}{\textrm{d}t} = \frac{1}{4} \pi h^2 \cdot \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}t} = \pi r^2 \cdot \frac{\textrm{d}H}{\textrm{d}t}[/tex]

[tex]\frac{\textrm{d}H}{\textrm{d}t} = \frac{\cancel{\pi h^2} \cdot \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}t}}{4 \cdot \cancel{\pi r^2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}t} = \frac{0.2}{4} = \underline{\underline{0.05 \textrm{ m/s}}}[/tex]

Har dessverre ikke fasit, men har en mattemaskin i klassen som fikk samme svar, så antar det er rett... Takk for hjelp!

... Men hvorfor kan du sette Vtank lik Vsyl? Den ser jeg ikke helt.

Hvis du går på forrige tråd, kan du se at jeg fikk samme svaret :p
Grunnen til at du kan sette volumet lik hverandre, er at vannet som renner ut per tid har samme volum selv om den er i sylinderen eller i tanken. Med andre ord opptar den samme volum i begge figurene, men formen på figurene (radius/høyde) er selvsagt annerledes.