Transcendetale funksjoner

[prasa93]

Suppose that [tex]f(x) = a^x[/tex] is differentiable at [tex]x = 0[/tex] and that [tex]f'(0) = k[/tex], where [tex]k[/tex] [tex]\neq[/tex] 0. Prove that [tex]f[/tex] is differentiable at any real number [tex]x[/tex], and that

[tex]f'(x) = k a^x = k f(x)[/tex]

Den deriverte til [tex]a^x[/tex]er jo [tex]a^x * log a[/tex]. Hvordan skal man gå videre og hva er det man egentlig skal vise?

[Vektormannen]

Det du skal vise er at hvis vi vet at [tex]f[/tex] er deriverbar i x = 0, så er den automatisk deriverbar i alle andre punkt, og den deriverte er alltid lik den deriverte i x = 0 ganger funksjonen selv. I og med at du allerede vet at [tex](a^x)^\prime = a^x \log a[/tex] så kan dette kanskje virke som en litt rar oppgave. Her skal du imidlertid vise (i alle fall slik jeg tolker det) at deriverbarhet i x = 0 impliserer deriverbarhet i alle andre punkt uten å benytte deg av det.

For å gjøre det må vi benytte oss av definisjonen av den deriverte. Nå vet vi at den deriverte i x = 0 eksisterer, og at den er lik k. Kan du sette opp grenseverdien som vi da vet eksisterer og er lik k?

Så ønsker vi å vise at den deriverte i et hvert annet punkt x eksisterer. Setter vi opp den deriverte i x vha. definisjonen får vi en ny grenseverdi. Det er denne du, ved hjelp av det ovenfor, må vise at er lik [tex]kf(x)[/tex], ikke sant?

[prasa93]

For å gjøre det må vi benytte oss av definisjonen av den deriverte. Nå vet vi at den deriverte i x = 0 eksisterer, og at den er lik k. Kan du sette opp grenseverdien som vi da vet eksisterer og er lik k?

Grenseverdi som skal være lik k? Tenker du da på den deriverte av kx som blir k vha.

lim (k(x+h) - kx) / h = k?
h->0

[Vektormannen]

Det jeg mener er at når vi vet at [tex]f^\prime(0) = k[/tex], så vet vi at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^{h} - a^0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = k[/tex], ikke sant? Her har jeg bare fylt inn hva det, i følge definisjonen, vil si at den deriverte i 0 eksisterer og er lik k.

Hva blir den deriverte, i følge definisjonen, i et hvilket som helst punkt x?

[prasa93]

Log a?

[Vektormannen]

I sted satte jeg opp den grenseverdien som vi vet eksisterer og er lik k, når vi vet at den deriverte eksisterer og er lik k i x = 0.

Vi skal vise at den deriverte i et hvilket som helst punkt x eksisterer, og at den blir lik [tex]k f(x)[/tex]. Da må vi på nytt bruke definisjonen. Den deriverte i x er

[tex]f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h}[/tex]

Det vi har lyst til å vise er at denne grenseverdien eksisterer og blir lik [tex]kf(x)[/tex], ved hjelp av at vi vet at grenseverdien jeg satte opp i sted eksisterer og er lik [tex]k[/tex]. Ser du hvordan du kan gjøre det?

[prasa93]

Hehe, takker for hjelp, men tror dette er utenfor mitt spekter av kunnskap. Klarer ikke se veien videre, dessverre.

Kan vel ha noe med at vi skal sette uttrykkene lik hverandre, evt. at vi skal sette dem inni en annen, men utenom det er jeg beklageligvis helt blank.

Uansett, takk for hjelpen sålangt.

[auduns]

Poenget her er vell at vi ikke vet at $f(x)=a^x$ er deriverbar overalt, vi bare antar at den er deriverbar i 0, og at $f'(0)=k$, og vi skal bruke dette til å vise at funksjonen er deriverbar overalt.

Det at en funksjon er derivarbar i et punkt, som her er 0 betyr at denne grenseverdien eksisterer:
$f'(0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{a^h-a^0}{h}$

Og vi vet også at denne grenseverdien er lik k.

Dette er hva oppgaven antar, det vi skal vise er at denne antakelsen betyr at funksjonen er derivarbar overalt, og vi skal vise hva den deriverte er. Så om vi igjen bruker definisjonen på den deriverte, får vi:

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \ to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$

Det neste vi gjør er å skrive om det siste uttrykket, fordi vi har en felles faktor overalt så vi får:


$\frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}=\frac{a^xa^h-a^x}{h}=a^x\frac{a^h-1}{h}$

Så er det å putte dette inn i uttrykket for den deriverte, så vi får denne grenseverdien istedet:

$f'(x)=\lim_{h \to 0}a^x\frac{a^h-1}{h}=a^x\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot k$

I disse overgangene har vi brukt at når vi tar grenseverdien av et produkt, kan vi ta grenseverdien til ver enkelt del, når begge delene konvergerer, og $a^x\to a^x$ siden det er uavhengig av h, og den andre delen konvergerer mot k, ut fra antagelsen.

Ble det klarere da?

[prasa93]

Aha, så egentlig kunne vi ha kunnet sneket oss unna med at siden:

[tex]f(x) = a^x[/tex], så er [tex]f'(x) = a^x ln a[/tex]

Vi har videre at [tex]k = f'(0) = a^0 ln a = ln a = k[/tex]

Og setter inn i den første:[tex]a^x * k = k * f(x)[/tex]

Slik?

[Vektormannen]

Nei, da antar du at den deriverte eksisterer i alle punkt x (det er det du skal bevise, gitt at den eksisterer i x = 0).

I denne oppgava må du glemme det du vet om den deriverte av [tex]a^x[/tex]. Tenk deg at dette er en ny funksjon som vi ikke vet noe som helst om. Poenget med beviset er at det eneste vi trenger å vite om en slik funksjon er at den deriverte eksisterer og er lik k i x = 0, for å kunne slutte at den deriverte eksisterer over alt og er lik kf(x). Dette forteller oss allerede noe om funksjonen -- uten å vite noe som helst om den deriverte på forhånd! Det forteller oss at den deriverte har samme form som funksjonen, bare ganget med en konstant (fortsetter vi å undersøke så finner vi at konstanten viser seg å være ln a).

Dette kan kanskje virke litt rart og abstrakt, men det er slik mye matematisk arbeid foregår. Man definerer noe nytt (f.eks. en funksjon) og undersøker hvilke egenskaper som "dukker opp". Det som er litt uvant er kanskje å gjøre denne prosessen for en type funksjoner som du allerede er ganske godt kjent med.

[viking]

bra svar, auduns. Vil bare poengtere for prasa at auduns :
1. bare skrev ned definisjonen på "derivarbar ved x=0"
2. Skrev ned definisjonen på "derivarbar ved x=x0" .
3. Viste at (2) kan omarrangeres slik at resultatet blir (1) gange a^x, som var alt oppgaven spurte om.
Tips: Skriv ned definisjonene, og ta problemet derfra.