matematikk.net

Gitt mengden [tex]\mathcal{F}[/tex] som består av alle funksjoner [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex]. Er denne mengden punktvis begrenset*?

*En delmengde [tex]\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}[/tex] kalles punktvis begrenset dersom det for hver [tex]a\in\mathbb{R}[/tex] finnes en konstant [tex]M_a[/tex] slik at [tex]|g(a)|\leq M_a[/tex] for alle [tex]g\in\mathcal{G}[/tex].

La oss anta at påstanden stemmer. Da finnes det en konstant $M$ slik at $|g(1)| \leq M$ for alle $g \in \mathcal{F}$. Hva kan du nå si om funksjonen $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ gitt ved $h(x) = x+M$ for alle $x$?

La G være mengden av konstante funksjoner fra R til R. Det er rimelig åpenbart at denne ikke er punktvis begrenset.

Ehm ... Jeg har egentlig tenkt på endelige mengder, men det er jo ikke det jeg har spurt om. Beklager det, og takk for svar.

Hvis G er en endelig mengde av funksjoner er den punktvis begrenset, ja. Skriv $G=\{g_1,g_2,\dots,g_n\}$, og la $M_a=\max_{i}g_i(a)$ for hver a i domenet.

Hva hvis hver av $g_i$ er ubegrenset selv? Det er jo bare gitt at de skal være reelle funksjoner uten videre krav.

wingeer skrev:Hva hvis hver av $g_i$ er ubegrenset selv? Det er jo bare gitt at de skal være reelle funksjoner uten videre krav.

Det har ingenting å si. Punktvis begrenset er ikke det samme som begrenset. Så lenge det er snakk om en endelig mengde funksjoner, vil det for hver a i domenet finnes en øvre skranke M slik at (absoluttverdien til) alle funksjonsverdiene i a ligger innenfor denne.

Hva hvis funksjonene ikke er definert i $a$? Det er mulig jeg overser noe helt åpenbart her nå ...

wingeer skrev:Hva hvis funksjonene ikke er definert i $a$? Det er mulig jeg overser noe helt åpenbart her nå ...

Det er snakk om funksjoner $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. $f(x)$ må være et reellt tall for hver $x\in\mathbb{R}$. Som en konsekvens er $f(x)<\infty$ for all $x\in\mathbb{R}$. Det betyr ikke at funksjonene ikke kan ha divergerende (eller konvergerende til $\pm\infty$) grenseoppførsel.

espen180 skrev:

wingeer skrev:Hva hvis funksjonene ikke er definert i $a$? Det er mulig jeg overser noe helt åpenbart her nå ...

Det er snakk om funksjoner $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. $f(x)$ må være et reellt tall for hver $x\in\mathbb{R}$. Som en konsekvens er $f(x)<\infty$ for all $x\in\mathbb{R}$. Det betyr ikke at funksjonene ikke kan ha divergerende (eller konvergerende til $\pm\infty$) grenseoppførsel.

Etter å ha lest så mange forskjellige bøker med så mange forskjellige konvensjoner er det aldri godt å vite om forfatteren med den notasjonen mener at funksjonen er surjektiv på hele kodomenet i funksjonsdefinisjonen. Jamfør det vanlige "abuse of notation": $f: \mathbb R \to \mathbb R$ ved $x \mapsto x^2$.

wingeer skrev:

espen180 skrev:

wingeer skrev:Hva hvis funksjonene ikke er definert i $a$? Det er mulig jeg overser noe helt åpenbart her nå ...

Det er snakk om funksjoner $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. $f(x)$ må være et reellt tall for hver $x\in\mathbb{R}$. Som en konsekvens er $f(x)<\infty$ for all $x\in\mathbb{R}$. Det betyr ikke at funksjonene ikke kan ha divergerende (eller konvergerende til $\pm\infty$) grenseoppførsel.

Etter å ha lest så mange forskjellige bøker med så mange forskjellige konvensjoner er det aldri godt å vite om forfatteren med den notasjonen mener at funksjonen er surjektiv på hele kodomenet i funksjonsdefinisjonen. Jamfør det vanlige "abuse of notation": $f: \mathbb R \to \mathbb R$ ved $x \mapsto x^2$.

Det høres ut som en veldig rar konvensjon. $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ betyr vel bare at $f(x)\in\mathbb{R}$ for alle $x\in\mathbb{R}$? For meg er dette den eneste naturlige konvensjonen.

Du har selvfølgelig helt rett. Tenkte ikke med hodet, tydeligvis.

Takk for svaret. Var redd jeg hadde oversett noe.