matematikk.net

God dag,

i innleveringsoppgaven i Diskret Matematikk (MAT120) var en av deloppgavene å lage en oppgave som læreren (!) måtte løse. Noen som kan klekke ut en ganske vanskelig oppgave, som fører til at læreren må sitte inn i helga?

"Lag en oppgave jeg må løse. (Velg fritt fra temaene kombinatorikk, mengdelære, induksjon, eller en kombinasjon av disse)."

Kjør idé-myldring!

En gammel klassiker er denne her, spesielt b) kan være noe vrien. Kanskje mest grunnet språkbruken.

http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=26327

Alternativt har du andre klassikere som
Gitt en 2x5 boks, hvor mange måter kan du plassere tallene fra 0 til 9 i denne boksen slik at
tallene stiger nedover, og mot høyre. Et eksempel som funker er

0 1 2 3 4
5 6 7 8 9

Og tilslutt kan en jo eksempelvis se om læreren klarer å finne en "Knights walk" på et normalt sjakkbrett. 8x8

http://en.wikipedia.org/wiki/Knight%27s_tour

En hvit kube er farget rød og deretter kuttet opp i 27 like store, mindre kuber, og blandet. En blind mann setter sammen de små kubene til en stor kube. Hva er sannsynligheten for at den nye kuben er helt rød på alle sideflatene?

plutarco skrev:En hvit kube er farget rød og deretter kuttet opp i 27 like store, mindre kuber, og blandet. En blind mann setter sammen de små kubene til en stor kube. Hva er sannsynligheten for at den nye kuben er helt rød på alle sideflatene?

Hei! Hva er svaret på denne opgaven?

plutarco skrev:En hvit kube er farget rød og deretter kuttet opp i 27 like store, mindre kuber, og blandet. En blind mann setter sammen de små kubene til en stor kube. Hva er sannsynligheten for at den nye kuben er helt rød på alle sideflatene?

andreas.nyber skrev:Hei! Hva er svaret på denne opgaven?

Jeg tillater meg å komme med et forslag: [tex]\frac{1}{5465062811999459151238583897240371200}\approx 1.83\cdot 10^{-37}[/tex].

Denne var vanskelig! Kunne vært greit å se en løsning også....eller bare google seg fram.

Det finnes nok ulike måter å tenke på, men det er altså fire kategorier småterninger. 1 med ingen røde sider (den i midten av den store terningen), 6 med en rød side (sentrumsterningen på hver side), 12 med to røde sider (midtterningen på hver av de 12 sidekantene) og 8 med tre røde sider (fra de 8 hjørnene). Den blinde mannen må antas å kjenne denne fordelingen, og må først lage seg fire hauger med terninger i henhold til disse kategoriene. Dette skjer tilfeldig siden han er blind.

Sannsynligheten for å få alle terningene i riktig kategori blir uttrykt ved den multinomiske koeffisienten [tex]1/\binom{27}{1,6,8,12}=\frac{1!6!8!12!}{27!}[/tex], men her kan man også tenke sekvensielt ved at sannsynligheten for å treffe på midtterningen først, blir [tex]\frac{1}{27}[/tex]. Videre, betinget av at midtterningen er trukket, vil det, ved gjentatte ganger å tenke betinget, bli en sannsynlighet på [tex]\frac{6}{26}\cdot\frac{5}{25}\cdot\frac{4}{24}\cdot\frac{3}{23}\cdot\frac{2}{22}\cdot\frac{1}{21}[/tex] for å trekke de neste 6 midtterningene ved de neste 6 trekningene. Slik kan en fortsette til en, etter å ha multiplisert sammen sannsynlighetene for de ulike kategoriene, får det samme som ved å bruke den multinomiske koeffisienten.

Hvis vi så antar at alle terningene har havnet i riktig kategori, vil sannsynligheten være 1 for at den helt ikke-røde terningen blir plassert riktig. Sannsynligheten vil være [tex](1/6)^6[/tex] for at alle de 6 sideterningene vender den røde siden ut. Sannsynligheten for at de tolv sidekant-terningene havner med den riktige rød-røde sidekanten ut blir [tex](1/12)^{12}[/tex], og tilsvarende vil sannsynligheten for riktig plassering av de 8 hjørneterningene være [tex](1/8)^8[/tex].

På grunn av betinget sannsynlighet, vil sannsynligheten for både riktig kategorisering og plassering av småterningene være

[tex]\frac{1!6!8!12!}{27!}\cdot\frac{1}{6^6}\cdot\frac{1}{8^8}\cdot\frac{1}{12^{12}}[/tex], som skal bli svaret jeg oppga tidligere.

Men kanskje er det noen som finner noe feil i det jeg har gjort?