matematikk.net

Hei, jeg har et spørsmål til eksistensbeviset for dette teoremet:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamenta ... #Existence

By induction: assume it is true for all numbers less than n. If n is prime, there is nothing more to prove. Otherwise, there are integers a and b, where n = ab and 1 < a ≤ b < n. By the induction hypothesis, a = p1p2...pn and b = q1q2...qm are products of primes. But then n = ab = p1p2...pnq1q2...qm is the product of primes. In the base case, 2 is a trivial product of primes.

De sier at hvis n ikke er et primtall så må det være et produkt av to mindre tall a og b. Men hvordan kan man vite at dette er sant? Hvorfor akkurat to tall, hvorfor er f. eks. ikke c = abc, abcd, eller et uendelig antall tall?

Et primtall er et tall som ikke har noen andre faktorer enn 1 og seg selv. Et tall $n$ som ikke er et primtall har da andre faktorer enn 1 og seg selv. La oss kalle én av disse $a$. Siden $a$ er en faktor betyr det at det finnes et tall $b$ som vi kan gange med $a$ for å få $n$. Med andre ord: $n = a \cdot b$. Merk at $a$ og $b$ trenger ikke være primtall, så det kan også, som du sier, finnes en $c$ slik at $n = abc$. For eksempel er jo $12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 6 \cdot 2$.

student1989 skrev: Hvorfor akkurat to tall, hvorfor er f. eks. ikke c = abc, abcd, eller et uendelig antall tall?

1. Det kan ikke være et uendelig antall faktorer (større enn 1), for dette tallet må da være uendelig, og vi opererer tross alt bare i mengden av endelige heltall.

2. Du må skille mellom faktorer og primfaktorer. Et tall som ikke er primtall vil alltid kunne skrives som produktet av to faktorer, men ikke nødvendigvis som produktet av to primfaktorer.