Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Forstår at jeg må omskrive dette, men ser (enda) ikke helt hvordan. Har prøvd å benytte meg av informasjonen på toppen av oppgaven, men har enda ikke greid å skrive det renere. Tipper jeg skal få det på formen arcsin(u) når det er integrert.. Noen som kan gi meg et hint eller to?
Ved å løse andregradslikningen $x^2 + bx + c = 0$ kan du skrive andregradspolynomet på formen $(x+n)(x+m)$.
Da får du at
$ \hspace{1cm}
\int_{-b/2}^{\large \frac{\pi - 10b}{20}} \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + bx + c} = 4 \int_{-b/2}^{\large \frac{\pi - 10b}{20}} \frac{\mathrm{d}x}{\left( 2x + b - \sqrt{b^2 - 4c}\right)\left( 2x + b + \sqrt{b^2 - 4c}\right)}
$
Og herfra regner jeg med du klarer oppgaven ?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Magi Prøv selv først. Trikset er å trekke ut en halv faktor fra begge leddene. Uansett så er øvre grense i integralet ditt feil, sikker på du har skrevet av informasjonen riktig? (Setter du inn øvregrense ender du opp med $\log(0)$ som ikke er definert. Dermed vil ikke integralet konvergere)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Eller.. vet ikke helt om jeg greier det selv. Har prøvd å gange ut nevneren og sette inn verdien for c (i håp om å få det på en form som er lett å integrere), men har enda ikke funnet noe. Er det en helt obvious ting jeg ikke ser?
Siden $b^2 - 4c = \pi^2/100$ så er $\sqrt{b^2 - 4c} = \pi / 10$. Dette kan du sette rett inn i uttrykket ditt
slik at brøken blir $1/(x + b - g)(x + b + g)$ hvor $g = \pi/10$. Deretter er delbrøksoppspalting en fin ting =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Jeg har prøvd meg litt og får integralet til å bli 2ln|2x+b|, men det stemmer vel ikke? Hvordan skal jeg forholde meg til de ukjente b'ene når jeg delbrøksoppspalter?
Bruker $g = \pi/10$ fordi jeg er lat.. =) Og merk at betingelsen din burde vært enten $4c - b^2 = -\pi^2/100$ eller $b^2 - 4c = \pi^2/100$
fordi en ikke kan ta roten av noe negativt. Uansett
$ \hspace{1cm}
\begin{array}{rl}
\frac{ 1 }{ (x + b - g)(x + b + g)} &\!\! = \ \frac{A}{x + b - g} + \frac{B}{x + b + g} \\
1 & \!\! = \ (x + b + g)A + (x + b - g)B
\end{array}
$
Ved å sette $x = - b - g$ blir likningen $1 = -2gB \, \Rightarrow \, B = -1/2g$ og tilsvarende kan gjøres for å fjerne B.
Ved å sette $x = - b + g$ osv. Da får du skrevet ting på rett form.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Hm, skal ikke utrykket være 1/(2x+b+g)(2x+b-g). Hvor ble det isåfall av 2x? Og hvordan kan du sette x=-b-g/-b+g..? Er det fordi du bruker at x^2+bx+c=0?
Stemmer det, liten skrivefeil fra min side. Om du ikke er så stø i delbrøksoppspalting anbefales
det på det sterkeste å øve seg på
$ \hspace{1cm}
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{(2x+b+g)(2x+b-g)} & = & \ \frac{A}{2x+b+g} + \frac{B}{2x+b-g} \\
1 & = & A(2x + b - g) + B(2x + b + g)
\end{array}
$
Ønsker nå og bestemme både A og B, som er to konstanter.
At de er konstante betyr at de er det samme uavhengig av hvilken $x$ vi putter inn.
Ved å sette inn $x = (g-b)/2$ forsvinner eksempelvis første leddet, så fås
$
\hspace{1cm} 1 = 2g \cdot B \ \Rightarrow \ B = 1/2g
$
tilsvarende om en setter inn $x = -(b+g)/2$ forsvinner andre leddet så
$ \hspace{1cm}
1 = - 2g \cdot A \ \Rightarrow \ A = - 1/2g
$
Setter vi inn verdiene for A og B fås da
$ \hspace{1cm}
\frac{1}{(2x+b+g)(2x+b-g)} = \frac{- 1/2g}{2x+b+g} + \frac{1/2g}{2x+b-g} = \frac{5}{\pi} \left( \frac{1}{2x + b - \pi/10} - \frac{1}{2x + b + \pi/10} \right)
$
hvor de to siste integralene er harmløse. En alternativ måte å se delbrøksoppspaltingen på er følgende
$ \hspace{1cm}
\frac{1}{(2x+b+g)(2x+b-g)} = \frac{1}{2g} \cdot \frac{(2x + b + g) - (2x + b - g)}{(2x+b+g)(2x+b-g)} = \frac{1}{2g} \left( \frac{1}{2x + b - g} - \frac{1}{2x + b + g} \right)
$
som er det samme som før.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Prøv selv først. Trikset er å trekke ut en halv faktor fra begge leddene. Uansett så er øvre grense i integralet ditt feil, sikker på du har skrevet av informasjonen riktig? (Setter du inn øvregrense ender du opp med $\log(0)$ som ikke er definert. Dermed vil ikke integralet konvergere)
