Hei!
Noen som har noen tips til bevis av:
La [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/tex] være en serie slik at [tex]a_n>0[/tex]. Vis at hvis grensen [tex]lim_{n\to \infty}\frac {a_{n+1}}{a_n}=q[/tex] eksisterer, da eksisterer også [tex]lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n}=q[/tex]. Altså den eksisterer og har samme verdi...
På forhånd takk!
bevis forholdstest-grense eksisterer gir rottest-grense lik
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mstud
- Grothendieck
- Innlegg: 825
- Registrert: 14/02-2011 15:08
- Sted: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Bruk $\epsilon-\delta$-definisjonen av en grense.
For alle $\epsilon>0$ fins en $N$ slik at $|\frac{a_{n+1}}{a_n}-q|<\epsilon$ for alle $n\geq N$, så
$-\epsilon<\frac{a_{n+1}}{a_n}-q<\epsilon$ for alle $n\geq N$, som er ekvivalent med
$a_n(q-\epsilon)<a_{n+1}<a_n(q+\epsilon)$.
Se på den siste ulikheten først. Trikset nå er å bruke denne ulikheten om og om igjen, slik at
$a_{N+k}<a_N(q+\epsilon)^{k}$ for k=1,...,
Herfra klarer du sikkert å løse oppgaven.
Ytterligere hint: For positive reelle tall x er $\lim_{n\to\infty} x^{\frac{1}{n}}=1$
For alle $\epsilon>0$ fins en $N$ slik at $|\frac{a_{n+1}}{a_n}-q|<\epsilon$ for alle $n\geq N$, så
$-\epsilon<\frac{a_{n+1}}{a_n}-q<\epsilon$ for alle $n\geq N$, som er ekvivalent med
$a_n(q-\epsilon)<a_{n+1}<a_n(q+\epsilon)$.
Se på den siste ulikheten først. Trikset nå er å bruke denne ulikheten om og om igjen, slik at
$a_{N+k}<a_N(q+\epsilon)^{k}$ for k=1,...,
Herfra klarer du sikkert å løse oppgaven.
Ytterligere hint: For positive reelle tall x er $\lim_{n\to\infty} x^{\frac{1}{n}}=1$
-
mstud
- Grothendieck
- Innlegg: 825
- Registrert: 14/02-2011 15:08
- Sted: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)
Takk. Fikk den til i løpet av ettermiddagen...
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.