Integral

[Yngve-nor]

[itgl][/itgl] x[sup]2[/sup] +1 / (6x - 9x[sup]2[/sup])

Kort og godt, hjelp

[Solar Plexsus]

Er integranden her

(x[sup]2[/sup] + 1) / (6x - 9x[sup]2[/sup])

eller

x[sup]2[/sup] + [ 1 / (6x - 9x[sup]2[/sup]) ] ?

[Yngve-nor]

Øverste, beklager

[Solar Plexsus]

La I(x) = (x[sup]2[/sup] + 1) / (6x - 9x[sup]2[/sup]). Da blir

9 I(x) = (9x[sup]2[/sup] + 9) / (6x - 9x[sup]2[/sup])
= [(9x[sup]2[/sup] - 6x) + (9 + 6x)] / (6x - 9x[sup]2[/sup])
= - 1 + (3 + 2x) / (2x - 3x[sup]2[/sup])
= -1 + [(3 + 2x) / [x(2 - 3x)]] (anvender delbrøkoppspalting)
= -1 + (3/(2x)) + (13/(2(2 - 3x)).

Altså blir

I(x) = -(1/9) + (1/6)x[sup]-1[/sup] + (13/18)(2 - 3x)[sup]-1[/sup].

Denne omskrivningen av integranden skal (forhåpentligvis) gjøre det relativt enkelt å bestemme det omtalte integralet.

[Yngve-nor]

Hm, det var en litt tricksy måte å løse det på.
Svaret skal bli -(1/9) - (13/54)*ln|2 -3x| + (1/6)*ln|x| + C, noe jeg ikke helt klarer å få.

[Solar Plexsus]

Nå er

[itgl][/itgl] (x[sup]2[/sup] + 1) dx / (6x - 9x[sup]2[/sup])

= [itgl][/itgl] -(1/9) + (1/6)x[sup]-1[/sup] + (13/18)(2 - 3x)[sup]-1[/sup] dx

= -(x/9) + (1/6)ln│x│ + (13/18)[itgl][/itgl]dx/(3x - 2) (bruker substitusjonen u=2 - 3x, dvs. at du/dx=-3)

= -(x/9) + (1/6)ln│x│ + (13/18)[itgl][/itgl]du/(-3u)

= -(x/9) + (1/6)ln│x│ - (13/(18*3)) ln│u│ + C (C vilkårlig konstant)

= -(x/9) + (1/6)ln│x│ - (13/54) ln│2 - 3x│ + C.

[Yngve-nor]

Takker!