matematikk.net

Consider the initial value problem

[tex]\frac{dy}{dx}=x+y^2[/tex]

with y(0)=1.

a) Use Euler's Method with step-length h=0.1 to find an approximation to y(0.3).

HINT 1: :Numerical methods.

HINT 2: Differential equations videos.

b) Let P2(x) denote the second order Taylor polynomial for the solution of the initial value problem y(x) at x=0. Find P2(0.3). HINT: Differentiate the differential equation implicitly to find y′′.

Ved å bruke Eulers metode fant jeg at y(0.3) = 1.030402

Finner at ''[tex]y''=1+2y*y'[/tex] og at y''(0)=3

Blir ikke P2(0.3) = [tex]f(0)+f'(0)*(0.3-0)+\frac{f''(0)*(0.3-0)^2}{2}[/tex]?

Får da et for stort tall. Hvilke verdier som settes inn er feil?

Når et Taylor Polynom evalueres for x=0, får vi


[tex]P_{2}x=f(x)+f^{\prime}(x)x+\frac{f^{2}(x)}{2!}x^2[/tex]

Ser ut som du har taket på det.

Hvilke uttrykk har du kommet frem til for den opprinnelige funksjonen y?

Jeg tror at du må evaluere alle gradene av funksjonen for x=0. Sånn:

[tex]P_{2}x=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^2[/tex]

Dette har du også gjort. Nå har ikke jeg sjekket om den numeriske approksimasjonen med Eulers metode er riktig, men ser ut som du er på riktig vei.

Så kan du putte inn verdier for x. Såfremt det du bruker som y er korrekt. [tex]y^{\prime\prime}[/tex] ser rett ut.

Kunne du skrevet opp hva du bruker for de forskjellige gradene av funksjonen når du finner verdiene? Da kan det kanskje være mulig å se slurvefeil, evt andre feil. Altså mer konkret, skriv funksjonene [tex]y ,og, y^{\prime}[/tex] så får jeg sett om det er noen feil der.

Bruker bare det som er gitt ovenfor. Altså at y(0)=1 og at [tex]y'=x+y^2[/tex]
Setter da inn 0 for x og 1 for y(0): [tex]y'=0+1^2=1[/tex]
[tex]y''=1+2\cdot 1\cdot 1=3[/tex]


y(0.3) ved Eulers metode:

[tex]y1 = y0 + hf(x0, y0) = 1 + 0.1(0 · 1^2) = 1[/tex]
[tex]y2 = y1 + hf(x1, y1) = 1 + 0.1(0.1 · 1^2) = 1.01[/tex]
[tex]y3 = y2 + hf(x2, y2) = 1.01 + 0.1(0.2 · 1.01^2) = 1.030402[/tex]

Setter inn i Taylorformelen:
[tex]1+1\cdot (0.3-0)+\frac{3\cdot (0.3-0)^2}{2}=1.435[/tex] Er ikke dette et for stort tall?

Det ser ikke ut som du gjør noen feil her. Jeg får den samme verdien som deg. Rimelig sikker på at det er korrekt.

Har du en fasit som sier noe annet?

Har dessverre ingen fasit Det er godt mulig det er korrekt, men syntes bare at 0.4 i forskjell var litt mye.

Ha! Leste av formelen for y feil og brukte multiplikasjon i Euler metoden. Skal jo være pluss der. Regnet det på nytt og fikk 1.40254 som er ganske nært P2(0.3)=1.435