Finn koeff. til x^3 * y ^4 i (x + 2y + 3)^10.
Hvordan løser man en slik oppg.?
Bestem koeffisienten
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Selvfølgelig kan du løse opp parantesen og se hva det blir, men det er mer effektivt å bruke binomialkoeffisienter. Vi har nemlig at$$
\left(x + (2y + 3) \right)^{10} = \sum_{n = 0}^{10} \binom{10}{n} x^n(2y + 3)^{10-n}
$$Altså er koeffisienten foran $x^3(2y + 3)^7$ lik $\binom{10}{3}$. Nå må vi finne koeffisienten foran $y^4$ i $(2y + 3)^7$. Akkurat som i stad har vi$$
(2y + 3)^7 = \sum_{n = 0}^{7} \binom{7}{n} (2y)^n3^{7-n}
$$ Følgelig er koeffisienten foran $y^4$ lik $\binom{7}{4} 2^43^3$. Totalt gir det at svaret er$$
\binom{10}{3}\binom{7}{4} 2^43^3 = 1814400
$$
\left(x + (2y + 3) \right)^{10} = \sum_{n = 0}^{10} \binom{10}{n} x^n(2y + 3)^{10-n}
$$Altså er koeffisienten foran $x^3(2y + 3)^7$ lik $\binom{10}{3}$. Nå må vi finne koeffisienten foran $y^4$ i $(2y + 3)^7$. Akkurat som i stad har vi$$
(2y + 3)^7 = \sum_{n = 0}^{7} \binom{7}{n} (2y)^n3^{7-n}
$$ Følgelig er koeffisienten foran $y^4$ lik $\binom{7}{4} 2^43^3$. Totalt gir det at svaret er$$
\binom{10}{3}\binom{7}{4} 2^43^3 = 1814400
$$