Side 1 av 1
Steg for steg
Lagt inn: 24/01-2014 23:33
av mikki155
Et steg jeg ikke helt skjønner fra forelesningsnotatene:
[tex]3cos2t - sin2t = Re((3+i)e^{i2t})[/tex]
Den delen er jeg med på, men så kommer noe jeg ikke helt forstår:
[tex]Re((3+i)e^{i2t}) = Re(e^{i \phi}|3+i|e^{i2t})[/tex]
Her faller jeg litt av, og foreleseren gav ingen forklaring på dette (vanlig at han hopper over "trivielle" mellomregninger). Jeg er ganske sikker på at [tex]|3+i|[/tex] er modulusen, og selvsagt er [tex]e^{i2t} = cos2t + isin2t[/tex].
Men så mye mer enn dette klarer jeg ikke å få ut av det, annet enn at [tex]\phi[/tex] skal være faseforskyvningsvinkelen.
Re: Steg for steg
Lagt inn: 25/01-2014 00:09
av Kork
Det er alltid slik at [tex]z = \left| z \right|{e^{i\theta }}[/tex] der [tex]\theta[/tex] er vinkelen mellom x aksen og z i det kartesiske planet.
Så i ditt eksempel er [tex]\theta[/tex] vinkelen mellom x aksen og 3+i.
Identiteten eg viste til kommer av at
[tex]\eqalign{
& z = \left| z \right|\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right) \cr
& {e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \cr}[/tex]
Re: Steg for steg
Lagt inn: 25/01-2014 00:21
av Gustav
Man kan tenke på faktoren $e^{-i\theta}$ som en rotasjon med klokka en vinkel $\theta$, om origo i det komplekse plan. Det er da geometrisk klart at ethvert komplekst tall z=a+ib kan roteres tilbake til den positive delen av den reelle aksen ved å multiplisere med $e^{-i\theta}z$ for en passende vinkel. Siden rotasjon om origo bevarer absoluttverdien til tallet, vil det eksistere en $\theta$ slik at $|z|=ze^{-i\theta}$, altså er $z=|z|e^{i\theta}$.
Re: Steg for steg
Lagt inn: 25/01-2014 00:43
av mikki155
Takk, jeg skjønner den delen bedre nå. Men jeg er fortsatt litt usikker på hvorfor [tex]Re(e^{i \phi}z) = 3cos2t - sin2t[/tex].
Det jeg spør om, er vel hvorfor den faseforskyvningen fører til at den reelle delen er lik uttryket på høyre side. Med andre ord, hvorfor har man "lov" til å multiplisere med [tex]e^{i \phi}[/tex]?
Re: Steg for steg
Lagt inn: 25/01-2014 00:57
av Gustav
mikki155 skrev:
[tex]3cos2t - sin2t = Re((3+i)e^{i2t})[/tex]
Generelt er $Re(z_1+z_2)=Re(z_1)+Re(z_2)$,
$Re(3e^{i2t})=3\cos (2t)$ og $Re(ie^{2ti}) = -Im(e^{i2t}) = -\sin(2t)$
Re: Steg for steg
Lagt inn: 25/01-2014 01:03
av mikki155
Det forklarer vel ikke hvorfor [tex]Re(e^{i \phi}z) = 3cos2t - sin2t[/tex], som var det jeg lurte på?
Jeg skjønner hvorfor [tex]3cos2t - sin2t = Re((3+i)e^{i2t})[/tex], det er ikke noe problem. Litt lett å blingse her, kanskje
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Re: Steg for steg
Lagt inn: 25/01-2014 01:11
av Gustav
Du vet jo at
[tex]3cos2t - sin2t = Re((3+i)e^{i2t})[/tex]
og som vi har forklart nettopp, er
[tex]Re((3+i)e^{i2t}) = Re(e^{i \phi}|3+i|e^{i2t})[/tex].
Altså følger likheten du lurer på, hvis jeg har forstått det riktig.
Re: Steg for steg
Lagt inn: 25/01-2014 01:21
av mikki155
Arrh, lol, nå ser jeg det
Mange takk for å ha holdt ut med den slitne hjernen min ^^