Hei, jeg har et spørsmål om metriske rom.
Anta at du har rommet (X,d), du har i tillegg et underrom A.
Hele A består av en følge [tex]\{X_{n}\}[/tex]. Vi vet at denne følgen konvergerer mot et punkt a, som ikke er i X.
La oss si at vi lager en ny følge ved å velge tilfeldige elementer fra [tex]\{X_{n}\}[/tex]. De trenger ikke å være en delfølge, du kan velge elementer helt tilfeldig.
Åpenbart kan vi konstruere følgen slik at den konvergerer mot ethvert punkt i A ved å bare velge repetisjoner, og åpenbart kan vi velge den samme følgen slik at den konvergerer mot a. Men kan denne følgen konvergere mot et punkt i X som ikke er i A? Finnes det bevis hvis nei, eller eksempel hvis ja?
Metrisk rom, konvergens spørsmål.
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
student1989
- Noether
- Innlegg: 34
- Registrert: 09/05-2013 13:58
Men der er jo A ikke a tellbar. Og spørsmålet var jo at gitt en følge, så definerer vi A som denne følgen. Og gitt at følgen konvergerer til en verdi som ikke er i X, kan man da konstruere en følge av elementene i A som konvergerer til et element i X men ikke A.plutarco skrev:La A være det åpne intervallet $(0,1)\subset \mathbb{R}$. Følgen $X_n=\frac{1}{n+1}$ for $n\geq 1$ er en følge i A som konvergerer mot 0, som ikke er element i A.
For eksempel hvis X er C([0,1],R) og A = [tex]\{f(x)=x^{n}: x \in [0,1]\}[/tex], og den metriske lengden er [tex]d(f,g)=sup\{|f(x)-g(x)|:x \in [0,1]\}[/tex]. Så konvergerer ikke følgen i A til noen funksjon i C([0,1],R). Men kan vi konstruere en følge av funksjoner i A som konvergerer til et funksjon i C([0,1],R), men som ikke er i A?
OK, virker som jeg ikke hadde lest spørsmålet ditt grundig nok.student1989 skrev:
Men der er jo A ikke a tellbar. Og spørsmålet var jo at gitt en følge, så definerer vi A som denne følgen. Og gitt at følgen konvergerer til en verdi som ikke er i X, kan man da konstruere en følge av elementene i A som konvergerer til et element i X men ikke A.
For eksempel hvis X er C([0,1],R) og A = [tex]\{f(x)=x^{n}: x \in [0,1]\}[/tex], og den metriske lengden er [tex]d(f,g)=sup\{|f(x)-g(x)|:x \in [0,1]\}[/tex]. Så konvergerer ikke følgen i A til noen funksjon i C([0,1],R). Men kan vi konstruere en følge av funksjoner i A som konvergerer til et funksjon i C([0,1],R), men som ikke er i A?
-
student1989
- Noether
- Innlegg: 34
- Registrert: 09/05-2013 13:58
Spørsmålet mitt var kanskje dårlig formulert. Jeg har klart å lage et presist spørmål om hva jeg lurer på, som bare inneholder punktvis konvergens.plutarco skrev:OK, virker som jeg ikke hadde lest spørsmålet ditt grundig nok.student1989 skrev:
Men der er jo A ikke a tellbar. Og spørsmålet var jo at gitt en følge, så definerer vi A som denne følgen. Og gitt at følgen konvergerer til en verdi som ikke er i X, kan man da konstruere en følge av elementene i A som konvergerer til et element i X men ikke A.
For eksempel hvis X er C([0,1],R) og A = [tex]\{f(x)=x^{n}: x \in [0,1]\}[/tex], og den metriske lengden er [tex]d(f,g)=sup\{|f(x)-g(x)|:x \in [0,1]\}[/tex]. Så konvergerer ikke følgen i A til noen funksjon i C([0,1],R). Men kan vi konstruere en følge av funksjoner i A som konvergerer til et funksjon i C([0,1],R), men som ikke er i A?
Utsagn. Anta at du har en mengde A av funksjoner [tex]A=\{f(x)=x^{k}|k \in N, x \in [0,1]\}[/tex]. A er en mengde av funksjoner, selv om notasjonen kan tolkes som at det er en mengde av reelle tall.
Anta så at du har en følge [tex]\{Y_{l}\}, l \in N, Y_{l} \in A.[/tex] og at følgen konvergerer punktvis til g. Da er [tex]g \in A[/tex] eller så er g(x)=0 hvis [tex]x \in [0,1)[/tex] og g(1)=1.
Er dette utsagnet sant?, poenget er at det skal gjelde for en hvilken som helst konvergent følge i A. Det holder ikke at følgen som forekommer hvis vi tar elementene i A i "stigende" rekkefølge så konvergerer de til den diskontinuerlige funksjonen nevnt ovenfor. Dette er bare en av mange konvergente følger i A. Vi må vise at alle konvergente følger i A konvergerer til denne ene diskontinuerlige, eller til et element i A. Men aldri til noen annen enn disse. Jeg vet ikke om utsagnet er sant, men tror det er det.
La $(f_n)_n$ være en punktvis konvergent følge av funksjoner i $A$. Vi må da ha en følge av naturlige tall $(k_n)_n$ slik at
$$f_n(x) = x^{k_n}$$
Ser du at hvis vi kan vise at $(k_n)_n$ enten er konvergent eller går mot uendelig, så følger konklusjonen ganske greit?
Vi har at $f_n(1/2) = (1/2)^{k_n} \to L$ der $L$ er en eller annen grense.
Se på tilfellet $L > 0$. Siden funksjonen $g(x) = \frac{\log x}{\log (1/2)}$ er kontinuerlig for $x > 0$ og $L >0$, følger det at $g((1/2)^{k_n}) \to g(L)$. Men $g((1/2)^{k_n}) = \frac{\log (1/2)^{k_n}}{\log (1/2)} = \frac{k_n \log(1/2)}{\log(1/2)} = k_n$, så vi har at $k_n \to g(L)$! Altså er $(k_n)_n$ konvergent.
Nå tilfellet $L = 0$. Kan du vise at i dette tilfellet så er eneste mulighet at $(k_n)_n \to \infty$ ?
$$f_n(x) = x^{k_n}$$
Ser du at hvis vi kan vise at $(k_n)_n$ enten er konvergent eller går mot uendelig, så følger konklusjonen ganske greit?
Vi har at $f_n(1/2) = (1/2)^{k_n} \to L$ der $L$ er en eller annen grense.
Se på tilfellet $L > 0$. Siden funksjonen $g(x) = \frac{\log x}{\log (1/2)}$ er kontinuerlig for $x > 0$ og $L >0$, følger det at $g((1/2)^{k_n}) \to g(L)$. Men $g((1/2)^{k_n}) = \frac{\log (1/2)^{k_n}}{\log (1/2)} = \frac{k_n \log(1/2)}{\log(1/2)} = k_n$, så vi har at $k_n \to g(L)$! Altså er $(k_n)_n$ konvergent.
Nå tilfellet $L = 0$. Kan du vise at i dette tilfellet så er eneste mulighet at $(k_n)_n \to \infty$ ?
Bachelor i matematiske fag NTNU - tredje år.