Kan noen jeg hjelpe meg med å se over hvordan jeg har løst denne oppgaven?
Svaret jeg har kommet frem til samsvarer ikke med svaret jeg får opp på wolframalpha. Men det ligner..
Jeg klarer ikke å se hva jeg eventuelt har gjort feil. Jeg skriver ned oppgaveløsningen min her, så dere kan se på den å følge tankegangen.
Oppgave er gitt som:
Løs differensiallikningen ved å bruke laplacetransformasjon.
[tex]y`` - 2y` + y = t + e^t = 0, y(0)=1, y`(0)=0.[/tex]
Steg 1: Bruker denne formelen:( Finner ikke Laplace-tegnet i editoren, så jeg bruker integraltegnet i stedet)
[tex]\int \left \{ y` \right \} = SY(S) - y(0)[/tex]
[tex]\int \left \{ y`` \right \} = S^2Y(S)-Sy(0)-y`(0)[/tex]
Steg 2: implementerer formelen på differensial-likninga
[tex]\int \left \{ y`` \right \} - \int \left \{ 2y` \right \} + \int \left \{ y \right \} = \int \left \{ t + e^t \right \}[/tex]
[tex]S^2Y-S*1-0-2(SY-1)+Y = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s - 1}[/tex]
[tex]S^2Y-2SY+Y = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s - 1}[/tex]
[tex]Y(S^2-2S+1) = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s - 1}[/tex]
[tex]Y = \frac{s^2 + s - 1}{s^2(s-1)^3}[/tex]
Steg 3: Delbrøkoppspalter stykket.
[tex]\frac{s^2 + s - 1}{s^2(s-1)^3} = \frac{A}{s^2} + \frac{B}{s} + \frac{C}{(s - 1)} + \frac{D}{(s-1)^2} + \frac{E}{(s - 1)^3}[/tex]
Etter at jeg har ganget ut, får jeg:
[tex]A = \frac{1}{2}, B = 0, C = 0, D = -\frac{1}{2}, E = 2[/tex]
[tex]Y =\frac{1}{2}*\frac{1}{s^2} - \frac{1}{2}*\frac{1}{(s - 1)^2} + \frac{2}{(s - 1)^3}[/tex]
Steg 4: Kjører invers Laplace for å finne svaret på differensialLikningen
[tex]y(t) = \frac{1}{\int }\left \{ Y \right \} = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}te^t + t^2e^t[/tex]
Ser dere noe feil med utregninga?
