Har en rar 1. ordens ikke-lineær ODE jeg ikke helt får tak på. Noen tips, evt løsning...
[tex]\large y\, ' = (4x-3y+5)^2[/tex]
strange DE
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La $z=4x-3y+5$. Implisittderivasjon gir at
$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{3}-\frac13\frac{dz}{dx}$.
Du får da transformert den opprinnelige ligningen over til en separabel ligning for z(x), og y(x) finnes til slutt ved å bruke substitusjonen øverst.
$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{3}-\frac13\frac{dz}{dx}$.
Du får da transformert den opprinnelige ligningen over til en separabel ligning for z(x), og y(x) finnes til slutt ved å bruke substitusjonen øverst.
Smart plutarco! Hadde jeg neppe kommet på... thanks...plutarco skrev:La $z=4x-3y+5$. Implisittderivasjon gir at
$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{3}-\frac13\frac{dz}{dx}$.
Du får da transformert den opprinnelige ligningen over til en separabel ligning for z(x), og y(x) finnes til slutt ved å bruke substitusjonen øverst.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Kanskje jeg har for mye fritid i kveld, men jeg forsøkte meg på å løse denne ^^
Hadde vært fint om dere kunne påpeke evt. feil
Bruker tipset fra plutarco:
[tex]3dy/dx = 4 - dz/dx[/tex]
[tex]y' = z^2[/tex], gir:
[tex]3z^2 = 4 - dz/dx[/tex]
[tex]\frac{dz}{4-3z^2} = dx[/tex]
[tex]\int \frac{dz}{4-3z^2} = \int dx[/tex]
For å løse integralet, setter jeg opp en trekant med hypotenus = [tex]2[/tex], og hosliggende katet = [tex]\sqrt{3}z[/tex] (vinkel = [tex]\theta[/tex]). Da får jeg:
[tex]cos \theta = \sqrt{3}z/2[/tex]
[tex]sin \theta = \frac{\sqrt{4-3z^2}}{2}[/tex]
[tex]sin^2 \theta = \frac{4-3z^2}{4} = 1 - 3z^2/4[/tex]
Deriverer likningen over, og får:
[tex]2sin \theta cos \theta d\theta = -3z/2 dz[/tex]
Substituerer [tex]cos \theta = \sqrt{3}z/2[/tex] i likningen over:
[tex]2sin \theta \sqrt{3}z/2 d\theta = -3z/2 dz[/tex]
[tex]dz = -\frac{\sqrt{3}}{3} sin \theta d\theta[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{12} \int {-\frac{1}{sin\theta}} d\theta = \int dx[/tex]
[tex]ln(\frac{sin {\theta/2}}{cos{\theta/2}}) = x + C_1[/tex]
Bruker at [tex]tan{\theta/2} = \frac{sin \theta}{cos\theta + 1}[/tex]:
[tex]\frac{\sqrt{4-3z^2}}{\sqrt{3}z + 2} = C'e^x[/tex]
[tex]4-3z^2 = Ce^{2x}(z+2)^2[/tex]
Jeg frykter at det kanskje ble noe feil med derivasjonen ved trekanten, og dessuten kan ikke [tex]z = 0[/tex], siden jeg delte på [tex]z[/tex] på begge sider.
Hadde vært fint om dere kunne påpeke evt. feil
Bruker tipset fra plutarco:
[tex]3dy/dx = 4 - dz/dx[/tex]
[tex]y' = z^2[/tex], gir:
[tex]3z^2 = 4 - dz/dx[/tex]
[tex]\frac{dz}{4-3z^2} = dx[/tex]
[tex]\int \frac{dz}{4-3z^2} = \int dx[/tex]
For å løse integralet, setter jeg opp en trekant med hypotenus = [tex]2[/tex], og hosliggende katet = [tex]\sqrt{3}z[/tex] (vinkel = [tex]\theta[/tex]). Da får jeg:
[tex]cos \theta = \sqrt{3}z/2[/tex]
[tex]sin \theta = \frac{\sqrt{4-3z^2}}{2}[/tex]
[tex]sin^2 \theta = \frac{4-3z^2}{4} = 1 - 3z^2/4[/tex]
Deriverer likningen over, og får:
[tex]2sin \theta cos \theta d\theta = -3z/2 dz[/tex]
Substituerer [tex]cos \theta = \sqrt{3}z/2[/tex] i likningen over:
[tex]2sin \theta \sqrt{3}z/2 d\theta = -3z/2 dz[/tex]
[tex]dz = -\frac{\sqrt{3}}{3} sin \theta d\theta[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{12} \int {-\frac{1}{sin\theta}} d\theta = \int dx[/tex]
[tex]ln(\frac{sin {\theta/2}}{cos{\theta/2}}) = x + C_1[/tex]
Bruker at [tex]tan{\theta/2} = \frac{sin \theta}{cos\theta + 1}[/tex]:
[tex]\frac{\sqrt{4-3z^2}}{\sqrt{3}z + 2} = C'e^x[/tex]
[tex]4-3z^2 = Ce^{2x}(z+2)^2[/tex]
Jeg frykter at det kanskje ble noe feil med derivasjonen ved trekanten, og dessuten kan ikke [tex]z = 0[/tex], siden jeg delte på [tex]z[/tex] på begge sider.
Fysikk og matematikk (MTFYMA, Sivilingeniør/Master 5-årig) ved NTNU
-
Gjest
Integralet blir ifølge wolfram
$\int \frac{1}{4-3z^2}\,dz =\frac{\tanh^{-1} \frac{\sqrt{3}z}{2}}{2\sqrt{3}}= x+C$, så
$z=\frac{2}{\sqrt{3}}\tanh (2\sqrt{3}x+C)$ og
$y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}-\frac{2}{3\sqrt{3}}\tanh (2\sqrt{3}x+C)$
Så kan man evt. bruke at $\tanh x = \frac{2}{1+e^{-2x}}-1$ for å omskrive til den formen som wolfram gir i linken i innlegget over.
$\int \frac{1}{4-3z^2}\,dz =\frac{\tanh^{-1} \frac{\sqrt{3}z}{2}}{2\sqrt{3}}= x+C$, så
$z=\frac{2}{\sqrt{3}}\tanh (2\sqrt{3}x+C)$ og
$y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}-\frac{2}{3\sqrt{3}}\tanh (2\sqrt{3}x+C)$
Så kan man evt. bruke at $\tanh x = \frac{2}{1+e^{-2x}}-1$ for å omskrive til den formen som wolfram gir i linken i innlegget over.