Kanskje jeg har for mye fritid i kveld, men jeg forsøkte meg på å løse denne ^^
Hadde vært fint om dere kunne påpeke evt. feil
Bruker tipset fra plutarco:
[tex]3dy/dx = 4 - dz/dx[/tex]
[tex]y' = z^2[/tex], gir:
[tex]3z^2 = 4 - dz/dx[/tex]
[tex]\frac{dz}{4-3z^2} = dx[/tex]
[tex]\int \frac{dz}{4-3z^2} = \int dx[/tex]
For å løse integralet, setter jeg opp en trekant med hypotenus = [tex]2[/tex], og hosliggende katet = [tex]\sqrt{3}z[/tex] (vinkel = [tex]\theta[/tex]). Da får jeg:
[tex]cos \theta = \sqrt{3}z/2[/tex]
[tex]sin \theta = \frac{\sqrt{4-3z^2}}{2}[/tex]
[tex]sin^2 \theta = \frac{4-3z^2}{4} = 1 - 3z^2/4[/tex]
Deriverer likningen over, og får:
[tex]2sin \theta cos \theta d\theta = -3z/2 dz[/tex]
Substituerer [tex]cos \theta = \sqrt{3}z/2[/tex] i likningen over:
[tex]2sin \theta \sqrt{3}z/2 d\theta = -3z/2 dz[/tex]
[tex]dz = -\frac{\sqrt{3}}{3} sin \theta d\theta[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{12} \int {-\frac{1}{sin\theta}} d\theta = \int dx[/tex]
[tex]ln(\frac{sin {\theta/2}}{cos{\theta/2}}) = x + C_1[/tex]
Bruker at [tex]tan{\theta/2} = \frac{sin \theta}{cos\theta + 1}[/tex]:
[tex]\frac{\sqrt{4-3z^2}}{\sqrt{3}z + 2} = C'e^x[/tex]
[tex]4-3z^2 = Ce^{2x}(z+2)^2[/tex]
Jeg frykter at det kanskje ble noe feil med derivasjonen ved trekanten, og dessuten kan ikke [tex]z = 0[/tex], siden jeg delte på [tex]z[/tex] på begge sider.