Center of mass

[matte2]

Hei, kan noen hjelpe meg med denne? Helt blank.

[matte2]

Blir ikke dette bare en kule? Med jevnt fordelt masse? Slik at massesenteret rett og slett blir i origo? Kan vel ikke være så enkelt...

[Aleks855]

Ja, men legg merke til at dette er bare en åttedel av kula. Her står det at $x,y,z \geq 0$ så den begrenses til kun den delen av rommet (1. oktant).

Ei grov skisse fra min ustabile hånd: http://i.imgur.com/7BMsfnU.png

[Aleks855]

Samme skisse, men med akser, i tilfelle det er mer tydelig. http://i.imgur.com/yGQLiHI.png

[matte2]

Aaah. Selvsagt. Takk for raskt svar!

Klarer du også å hjelpe meg med å innse/forstå hvordan massetettheten endres utover i oktalen? Null massetetthet ved origo, og tettere og tettere utover mot kuleoverflaten?

Og ikke minst det å sette opp formelen...

[Nebuchadnezzar]

Du tenker rett, nulltetthet i sentrum også gradvis større tetthet utover.

Volumet av biten er 1/8 av hele kula så
$$
M = \frac{1}{8} \int_{-\pi}^{\pi} \int_0^{\pi} \int_0^r \rho(r \sin \theta \cos\varphi, r \sin \theta \sin \phi , r \cos \theta) r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi
$$
I sfæriske koordinater. På grunn av kulesymmetri er $\bar{z} = \bar{y} = \bar{x}$, så vi trenger
bare regne ut en av koordinatene. Da får vi fra formelen $M_k = \iiint k \cdot \rho \,\mathrm{d}V$ nemlig
$$
\bar{z} = \frac{1}{M} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^r r \cos \theta \cdot \rho(r \sin \theta \cos\varphi, r \sin \theta \sin \phi , r \cos \theta) r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi
$$
Rho blir meget pen når du regner den ut, så integralet er ikke noe stress.

http://math.stackexchange.com/questions ... ous-sphere

[matte2]

Du tenker rett, nulltetthet i sentrum også gradvis større tetthet utover.

http://math.stackexchange.com/questions ... ous-sphere

Takk for svar!

Ser der at en kommer frem til svaret $x_m = \frac{3a}{10}$, mens en annen kommer frem til $\left( \overline x, \overline y, \overline z \right) = \left( \frac{3a}{7}, \, \frac{3a}{7}, \, \frac{3a}{7} \right)$

Jeg er veldig blank på dette, som sagt. Gir noe av dette mening?

[Nebuchadnezzar]

Svaret er sistnevnte, som du får ved å regne ut integralene over. Blir som sagt ikke voldsomt stygt etter du forenkler ned massetettheten din.

[matte2]

Du tenker rett, nulltetthet i sentrum også gradvis større tetthet utover.

Volumet av biten er 1/8 av hele kula så
$$
M = \frac{1}{8} \int_{-\pi}^{\pi} \int_0^{\pi} \int_0^r \rho(r \sin \theta \cos\varphi, r \sin \theta \sin \phi , r \cos \theta) r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi
$$
I sfæriske koordinater. På grunn av kulesymmetri er $\bar{z} = \bar{y} = \bar{x}$, så vi trenger
bare regne ut en av koordinatene. Da får vi fra formelen $M_k = \iiint k \cdot \rho \,\mathrm{d}V$ nemlig
$$
\bar{z} = \frac{1}{M} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^r r \cos \theta \cdot \rho(r \sin \theta \cos\varphi, r \sin \theta \sin \phi , r \cos \theta) r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi
$$
Rho blir meget pen når du regner den ut, så integralet er ikke noe stress.

http://math.stackexchange.com/questions ... ous-sphere

Etter mye hjernevridning, skjønner jeg nå endelig hvorfor volumet kan skrives som

$$
M = \frac{1}{8} \int_{-\pi}^{\pi} \int_0^{\pi} \int_0^r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi
$$

(Riktig?)

Men hva er det du gjør når du setter uttrykket inn i midten?
Er det bare rho som en funksjon av x,y,z - multiplisert med $r^2 \sin \theta$ ? Hvor kommer i så fall alt dette fra?

Ser forresten at du har byttet om phi og theta i forhold til det som står om sfæriske koordinater i Calculus A Complete Course. Er det likegyldig hva man kaller theta og phi, og hvilken rekkefølge man stiller disse i, eller var det bare en glipp?

Blir bare mer og mer forvirret jeg,...

[Nebuchadnezzar]

Første er riktig ja, bare å tegne figur eller å ha
sett slike integraler nok ganger før. Regner med du tar Flerdimensjonal analyse nå på ntnu?

Er litt hipps om happ rekkefølgen så lenge en bruker riktige grenser og de ikke er avhengig av hverandre.
Her er grensene endelige og uavhengige, så en står fritt til å bytte disse om slik det passer.

Siden du har "Calculus: A complete course" anbefaler jeg deg å lese kapitell 14 Multiple Integrals
og spesielt 14.6 her står det om variabelskifte i trippelintegraler. Det er ikke noe magi, og er analogt
til det du gjorde i en variabel. Med $u = x(t)$ så $\mathrm{d}u = x'(t) \mathrm{d}t$.

Det som står inne i integraler er som du skriver bare rho i sfæriske koordinater.

[matte2]

Første er riktig ja, bare å tegne figur eller å ha
sett slike integraler nok ganger før. Regner med du tar Flerdimensjonal analyse nå på ntnu?

Er litt hipps om happ rekkefølgen så lenge en bruker riktige grenser og de ikke er avhengig av hverandre.
Her er grensene endelige og uavhengige, så en står fritt til å bytte disse om slik det passer.

Siden du har "Calculus: A complete course" anbefaler jeg deg å lese kapitell 14 Multiple Integrals
og spesielt 14.6 her står det om variabelskifte i trippelintegraler. Det er ikke noe magi, og er analogt
til det du gjorde i en variabel. Med $u = x(t)$ så $\mathrm{d}u = x'(t) \mathrm{d}t$.

Det som står inne i integraler er som du skriver bare rho i sfæriske koordinater.

Hei, takk for nok et svar.
Nei, jeg tar Matematikk 2.
Mente egentlig rekkefølgen på theta og phi. I boken står kulekoordinater oppgitt som $[\rho, \phi, \theta ]$, mens du skriver det som $[ \rho, \theta, \varphi ]$. Men jeg har kommet frem til at vi kunne jo like gjerne kalt de for $m$ og $ \beta $ og $ \lambda $, så det spiller jo ikke noen rolle... At man kan bytte om rekkefølgen på integralet har jeg heldigvis fått med meg.
Skal definitivt lese både kapittel 14, og de andre også, forsåvidt. Satser på å gjøre det bra på eksamen i mai. Men akkurat nå sliter jeg med en obligatorisk innlevering som jeg må levere nå for å få ta eksamen i det hele tatt. Så må få dette ferdig.

Jeg forstår at $x$ kan skrives som $r \sin \theta \cos \varphi $ (for å bruke dine variabler), $y$ som $ r \sin \theta \sin \theta $ og $z$ som $ r \cos \theta $. Så jeg ser liksom konturene av noe som begynner å ligne på uttrykket ditt. Men jeg skjønner ikke hvordan du kommer frem til hele det uttrykket... $r \cos \theta \cdot \rho (r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) r^2 \sin \theta $ ... ?

Takk for all hjelp!!! Verdsetter det høyt!

[Urosmooth]

Du tenker rett, nulltetthet i sentrum også gradvis større tetthet utover.

Volumet av biten er 1/8 av hele kula så
$$
M = \frac{1}{8} \int_{-\pi}^{\pi} \int_0^{\pi} \int_0^r \rho(r \sin \theta \cos\varphi, r \sin \theta \sin \phi , r \cos \theta) r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi
$$
I sfæriske koordinater. På grunn av kulesymmetri er $\bar{z} = \bar{y} = \bar{x}$, så vi trenger
bare regne ut en av koordinatene. Da får vi fra formelen $M_k = \iiint k \cdot \rho \,\mathrm{d}V$ nemlig
$$
\bar{z} = \frac{1}{M} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^r r \cos \theta \cdot \rho(r \sin \theta \cos\varphi, r \sin \theta \sin \phi , r \cos \theta) r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi
$$
Rho blir meget pen når du regner den ut, så integralet er ikke noe stress.

http://math.stackexchange.com/questions ... ous-sphere

Skjønner ikke helt hvorfor du deler opp både massen og massesenteret ulikt. Jeg kommer frem til $ M = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^a \rho ^5 \sin \theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi $ Skjønner ikke helt hvordan du kommer frem til grensen $- \pi til \pi $ når du gjør det om til sphere koordinater.

Blir samme grenser for massesenteret. Bare at du ganger inn $ z= \rho \cos \theta $ pga symmetri

[Urosmooth]

Jeg forstår at $x$ kan skrives som $r \sin \theta \cos \varphi $ (for å bruke dine variabler), $y$ som $ r \sin \theta \sin \theta $ og $z$ som $ r \cos \theta $. Så jeg ser liksom konturene av noe som begynner å ligne på uttrykket ditt. Men jeg skjønner ikke hvordan du kommer frem til hele det uttrykket... $r \cos \theta \cdot \rho (r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) r^2 \sin \theta $ ... ?

Takk for all hjelp!!! Verdsetter det høyt!

$z= r \cos \theta $


$ \rho (r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) r^2 \sin \theta $ Er bare definisjonen/formelen på sphere koordinater, kan lese om det i boken eller google

[Nebuchadnezzar]

Som sagt det står enten på wikipedia eller 14.6. Å forstå pensum
er nok først nødvendig i mai. Men å lese 3 sider for å få gjort en oblig øving
det forventes det at du klarer. At grensene blir forskjellig er at en integrerer over
ulike områder, tegner du det ser du det nok. Når jeg regner ut $M$ integrerer
jeg over hele kula, på grunn av kulesymmetri. Mens for $\bar{z}$ integrerer jeg bare over den ene oktanten.