matematikk.net

Hei.

Vi har startet på differensial ligninger og har om andre- og høyre- ordenete lineær diff. ligninger.

Jeg og en kompis holder på med noen oppgaver og ser gjennom lærerens notater. Der ser vi at han har brukt cramers regel, men det vi lurer på er når og i såfall hvorfor bruker man den? Er det ikke bare en tungvint metode å løse et ligningsett på?

Cramer's regel lar deg løse et integral, fremfor en matrise.

[tex]y_{1}u_{1}'+y_{2}u_{2}+\cdot\cdot\cdot+y_{n}u_{n}'=0\\ y_{1}'u_{1}'+y_{2}'u_{2}'+\cdot\cdot\cdot+y_{n}'u_{n}'=0\\ y_{1}''u_{1}'+y_{2}''u_{2}'+\cdot\cdot\cdot+y_{n}''u_{n}'=0\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ y_{1}^{n-1}u'+\cdot\cdot\cdot+y_{n}^{n-1}u_{n}'=g[/tex]

Cramer's regel dikterer så en løsning [tex]u'(t)=\frac{g(t)W_{m}(t)}{W(t)}, \; m=1,2,3...,n[/tex]

Som gir en spesiell løsning [tex]Y(t)=\sum_{m=1}^{n}y_{m}(t)\int_{t_{0}}^{t}\frac{g(s)W_{m}(s)}{W(s)}ds[/tex]

Prøv f.eks. å finne en spesiell løsning av den homogene likningen [tex]y'''-y''-y'+y=g(t)[/tex] med løsninger [tex]y_{1}(t)=e^{t}, \; y_{2}(t)=te^{t}, \; y_{3}(t)=e^{-t}[/tex] med og uten cramer's regel.

Edit: Dersom du nå tar lineær algebra, og det er der du tar det fra så er kanskje ikke nytten like åpenbar. Dog, du ser at du kan finne spesielle løsninger på enorme matriser gjennom å kun vurdere determinantene. Dette gir rom for forenklinger i en ganske bred forstand, selv om det kanskje ikke virker slik i en 4x3-matrise.

Flaw skrev:Cramer's regel lar deg løse et integral, fremfor en matrise.

[tex]y_{1}u_{1}'+y_{2}u_{2}+\cdot\cdot\cdot+y_{n}u_{n}'=0\\ y_{1}'u_{1}'+y_{2}'u_{2}'+\cdot\cdot\cdot+y_{n}'u_{n}'=0\\ y_{1}''u_{1}'+y_{2}''u_{2}'+\cdot\cdot\cdot+y_{n}''u_{n}'=0\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ y_{1}^{n-1}u'+\cdot\cdot\cdot+y_{n}^{n-1}u_{n}'=g[/tex]
Cramer's regel dikterer så en løsning [tex]u'(t)=\frac{g(t)W_{m}(t)}{W(t)}, \; m=1,2,3...,n[/tex]
Som gir en spesiell løsning [tex]Y(t)=\sum_{m=1}^{n}y_{m}(t)\int_{t_{0}}^{t}\frac{g(s)W_{m}(s)}{W(s)}ds[/tex]
Prøv f.eks. å finne en spesiell løsning av den homogene likningen [tex]y'''-y''-y'+y=g(t)[/tex] med løsninger [tex]y_{1}(t)=e^{t}, \; y_{2}(t)=te^{t}, \; y_{3}(t)=e^{-t}[/tex] med og uten cramer's regel.
Edit: Dersom du nå tar lineær algebra, og det er der du tar det fra så er kanskje ikke nytten like åpenbar. Dog, du ser at du kan finne spesielle løsninger på enorme matriser gjennom å kun vurdere determinantene. Dette gir rom for forenklinger i en ganske bred forstand, selv om det kanskje ikke virker slik i en 4x3-matrise.

Er W, Wronski determinanten ?

Riktig!

Edit: Merk at det jeg skriver ikke er Cramer's regel. Den er ofte formulert slik:

La A være en invertibel nxn-matrix. For hver b i [tex]\mathbb{R}^{n}[/tex], har den unike løsningen x av Ax=b verdier definert som [tex]x_{i}=\frac{detA_{i}(\mathbf{b})}{detA},\; \; i=1,2...,n[/tex]

Jeg forsøkte mer å svare hvordan dette kan være "nyttig"