matematikk.net

Hei, jeg skal bevise at [tex]x[/tex] er stigende for en økning i [tex]R[/tex].
Funksjonen er følgende:
[tex]x^*=\frac{(\beta R)^{\frac{1}{\alpha}}Y_1 - Y_2}{R+(\beta R)^{\frac{1}{\alpha}}}[/tex]

Følgende forutsetninger er gitt:
[tex]Y_1,Y_2 > 0 \\ \alpha > 0\\ 0< \beta < 1\\ R \geq 1[/tex]

Etter mye om og men ( se link med bilde: https://www.dropbox.com/s/ullrzz6l56rovbd/001.jpg) ender jeg opp med:
[tex]\frac{\partial x^*}{\partial R} = \frac{Y_2 [\alpha R + (\beta R)^{\frac{1}{\alpha}}] -(\alpha - 1) Y_1 \beta^{\frac{1}{\alpha}}R^{\frac{1}{\alpha}+1}}{\alpha R [(\beta R)^{\frac{1}{\alpha}}+R]^2}[/tex]

Men så vidt jeg kan se tillater [tex]\alpha > 1[/tex] funksjonen å synke ved en økning i [tex]R[/tex], hva er det jeg overser??

På forhånd takk!

Ved å velge $\alpha = \beta = 1/2$ og $Y_1 = Y_1 = 1$ (som oppfyller initialbetingelsene), blir resultatet

$x^* = \frac{\sqrt{\frac{R}{2}} - 1}{R + \sqrt{\frac{R}{2}}} = f(R)$.

Da er $f(2)=0$, $f(8)={\textstyle\frac{1}{10}}$ og $f(32)={\textstyle \frac{1}{12}}$. Følgelig er ikke $f$ stigende i intervallet (2,32). Dette eksempelet indikerer at oppgaveformuleringen ikke stemmer overens med alle de gitte forutsetningene.

Var det jeg hadde en mistanke om! Takk for svar!