La $X$ være en mengde, og la [tex]\Sigma[/tex] være en [tex]\sigma[/tex] -algebra på [tex]X[/tex] . Anta at [tex]\mu:\Sigma\to[0,\infty][/tex] er et endelig tellbart mål på [tex]\Sigma[/tex] , dvs.
[tex]\mu(\emptyset)=0[/tex]
[tex]U\cap V=\emptyset \Rightarrow \mu(U\cup V)=\mu(U)+\mu(V)[/tex].
Jeg har vist at [tex]\mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}U_i\right) = \sum_{i=1}^{n}\mu(U_i)[/tex] og blir videre bedt om å vise at dersom [tex]U_1,U_2,\ldots[/tex] er en stigende følge av mengder i [tex]\Sigma[/tex], så er [tex]\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}U_i\right) = \lim_{n\to\infty} U_n[/tex].
Noen hint? Takk.
Bevis om endelig tellbart mål
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Litt off-topic, men hva er "mål" på engelsk i denne sammenhengen?
Measure, definert her http://en.wikipedia.org/wiki/Measure_%28mathematics%29
Visst har du rett i at oppgaven er annerledes enn det jeg legger den fram som her. Der det står «assume», har jeg klart å lese «show». (Den egentlige oppgaven er altså: Anta at $\mu$ er «continuous from below», og vis at den er et mål. Og det er litt enklere.)plutarco skrev:Det "vanlige" er vel å skulle vise at et endelig tellbart mål $\mu$ er et mål hvis og bare hvis $\mu$ er "continuous from above/below". Sikker på at det ikke er det du skal vise? Hvordan lyder oppgaveformuleringen (eksakt) forresten?
Men det jeg har prøvd å vise, det stemmer vel ikke? Har du/noen eventuelt et moteksempel?
Det du har forsøkt å vise tror jeg ikke stemmer, nei. I det minste brukes egenskapene til et mål for å vise nedenfra kontinuitet i de bevisene jeg har sett. Jeg kommer dessverre ikke på et godt moteksempel i farten, men skal tenke litt mer på det.Flabbrø skrev:
Men det jeg har prøvd å vise, det stemmer vel ikke? Har du/noen eventuelt et moteksempel?