matematikk.net

Trenger litt hjelp her:


Gjelder oppgave b. Jeg ville tro at man kunne bruke Gauss' theorem direkte,dvs. trippelintegrere divF over T men dette er tydeligvis feil.. jeg får 17*pi*sqrt(5), mens det endelige svaret skal være 8*pi*sqrt(5). Anyone?

Merk at du blir bedt om å kun finne fluksen ut av den krumme delen. Har du tegnet en figur? Flaten din består av en krum del og to sirkulære "endeflater" som er parallelle med xy-planet og befinner seg i hhv [tex]z = 0[/tex] og [tex]z = \sqrt{5}[/tex]. Når du bruker divergensteoremet finner du den totale fluksen ut av hele den lukka flaten, altså summen av fluksen ut av den krumme delen, og fluksen ut av endeflatene.

Ah, ok. Jeg må altså trekke fra de to endeflatene? Kan jeg bruke divergensteoremet her også eller er det enklere å parametrisere og løse to dobbeltintegral?

Her må du nok integrere over de to flatene ja, og trekke fra det du fant med divergensteoremet. Du kan ikke bruke divergensteoremet - det krever jo et lukket volum, og du finner ikke noe lukket volum som kun avgrenses av de to endeflatene!

Ok. Er dog fremdeles litt usikker på hvordan jeg skal sette opp de to integralene..Grensene er greie, men hvordan blir selve uttrykket? Dvs. hvordan blir F*n seende ut i de to tilfellene?

De to flatene er parallelle med xy-planet, ikke sant? Da har de en normalvektor som peker i z-retning. Videre skal normalvektorene peke ut av flatene. Her er det veldig lurt å tegne en figur, som sagt. Hvilken retning har normalvektoren til flaten der [tex]z = 0[/tex]? Hvilken retning der [tex]z = \sqrt 5[/tex]? (Vi vet at de peker langs z-aksen, så det du må finne ut er om det er i positiv eller negativ z-retning).

Plottet det nå. Gitt at jeg har plottet rett må vel normalvektoren i z = 0 være pekende nedover(negativ) mens i z = sqrt(5) peke oppover(positiv). Men jeg er fremdeles usikker på hvordan jeg skal løse de faktiske integralene.

Stemmer det

Hvis vi kaller flatene for [tex]S_1[/tex] (z = 0) og [tex]S_2[/tex] ([tex]z = \sqrt 5[/tex]) får vi henholdsvis [tex]\int \int_{S_1} \vec{F} \cdot (0, 0, -1) dS = \int \int_{S_1} (0 - x) (-1) dS = \int \int_{S_2} x dS[/tex] og (uten mellomregningen) [tex]\int \int_{S_2} \sqrt 5 - x dS[/tex]. Siden de to flatene er parallelle med xy-planet trenger vi ikke å tenke på noen parameterisering her; dS blir simpelthen dA = dx dy. Med andre ord har du nå de to "vanlige" dobbeltintegralene [tex]\int \int_{D_1} x dx dy[/tex] og [tex]\int int_{D_2} \sqrt 5 - x dx dy[/tex], der [tex]D_1[/tex] og [tex]D_2[/tex] er de to områdene i xy-planet som x og y går over i de to flatene. For [tex]S_1[/tex] er dette området simpelthen det samme; det er disken avgrenset av sirkelen [tex]0 = \sqrt{x^2 + y^2 - 4} \ \Leftrightarrow \ x^2 + y^2 = 4[/tex]. For [tex]S_2[/tex] får vi at området [tex]D_2[/tex] er disken avgrenset av sirkelen [tex]\sqrt 5 = \sqrt{x^2 + y^2 - 4} \ \Leftrightarrow \ x^2 + y^2 = 9[/tex]. Tar du resten nå? Siden områdene er sirkulære vil det være en god idé å bruke polarkoordinater.

Fikk det _endelig_ til nå, tusen hjertelig takk!!

Har et lite spm. til:

Hvordan kommer de fra tangentvektoren til enhetsvektoren?

En enhetsvektor er simpelthen en vektor som har lengde 1. Du kan få en enhetsvektor i samme retning som en hvilken som helst (ikke 0-) vektor ved å dele vektoren på sin egen lengde. Lengden av vektoren her er [tex]|4\textbf j - 32\textbf k| = \sqrt{4^2 + 32^2} = 4 \sqrt{65}[/tex].

Skjønner ikke helt hvorfor dette blir feil - har gjort det på eksakt samme måte som i oppgaven tidligere postet. divF*volumet og så trekke fra fluksen ut gjennom toppen. sqrt(3)*r drdtetta, 0 < tetta < 2pi, 0 < r < 2

Er nederste oppg om det skulle være noen tvil!

Hva får du, og hva skal det bli? Etter kjapp regning får jeg [tex]2\pi \sqrt 3[/tex].

Jeg får samme som deg. LF operer med 3pisqrt(3)