matematikk.net

Hei.

Jeg har en kule i første kvadrant x>0, y>0, z>0, med massetetthet p(x,y,z).
Hvordan kan jeg se/forstå at tyngdepunktet til dette området skal være x=y=z. Altså alle koordinatene er like. (Så man slipper å regne de andre to hvis man har en av dem).

Er det en hel kule, eller bare en åttendedel av kula i første kvadrant?

En åttendedel.

Ok, det finnes sikkert personer som har bedre forklaringer enn meg, men jeg prøver.

Siden oktantdelen er symmetrisk, vil massen fordele seg jevnt i hvert "snitt" (en liten overfladisk plate, om du vil) av denne delen. Hvis massetettheten øker jevnt, kan man tenke at hvert snitt utover har større tetthet. Hvis du tenker at du legger den største platen i hånda di først - og så legger på alle de andre til du har hele delen - vil du finne at den balanserer på midtpunktet. Dette er pga. symmetrien. Selvsagt vil jo massesentrum som regel ligge et sted inne i delen, men det gir vel hvert fall et greit bilde.

En analogi kan være f. eks. at hvis du har en masseløs stang med to punktmasser på hver ende med lik masse, så vil alltid massesentrum ligge på midten av stanga pga. symmetrien.

Tror ikke jeg klarer å forklare noe bedre enn dette hehe

Ok, tusen takk for forklaring.

Betrakt først planet gitt ved ligningen y=x. Legemet er fullstendig symmetrisk om dette planet, så det følger at massesenteret må ligge i dette planet.

Betrakt deretter planet z=x. Samme argument gir at massesenteret må ligge i dette planet. Ergo er koordinatene til massesenteret gitt ved at x=y=z.